Kombinatoryka

[małgosia]

Bardzo proszę o pomoc przy rozwiązaniu tych dwóch zadań.

1) Na imprezie gwiazdkowej wszystkie 25 prezentów pozbawiono
karteczek z imieniem adresata, losowo wymieszano i rozdano
uczestnikom. Niech pk oznacza prawdopodobieństwo, że dokładnie k
osób dostanie własny prezent (czyli taki, który sam przygotował).
Proszę wyznaczyć pk dla k=0,1,2..25.

2) Test na rzadką chorobę, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na
tysiąc, daje fałszywą pozytywną odpowiedź w 5% przypadków (u osoby
chorej daje zawsze odpowiedź pozytywną). Jakie jest
prawdopodobieństwo, że osoba u której test dał odpowiedź pozytywną,
jest faktycznie chora? (zakładamy, że nic nie wiemy o innych
możliwych objawach choroby u badanej osoby).

Z góry dziękuję.

[*Kasia]

0,1% osób jest chorych - wynik pozytywny
5% osób zdrowych - wynik pozytywny
Zatem 5,1% osób otrzymuje wynik pozytywny.
Zatem 0,1%/5,1%=1/51

[yorgin]

1
\(\displaystyle{ k=1\\
P=\frac{1}{25}\\
k=2\\
P=\frac{1}{25}\cdot \frac{1}{24}=\frac{1}{24\cdot 25}\\
k=3\\
P=\frac{1}{25}\cdot \frac{1}{24}\cdot \frac{1}{23}=\frac{1}{23\cdot 24\cdot 25}\\
...\\
k \{1,..,25\}\\
P=\frac{1}{n\cdot (n+1) ... 24\cdot 25}=\frac{1}{\frac{25!}{(n-1)!}}
=\frac{(n-1)!}{25}\\
\\
k=0\\
P=\frac{24}{25}\cdot \frac{23}{24}\cdot ... \frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{25}}\)
Komentarz:
k=0: Żaden nie dostanie swojego czyli każdy dostanie inny, czyli pierwszy musi dostać jeden z 24 spośród 25 prezentów, 2 jeden z 23 spośród 24 itd.
k=1,2,...,25:Pierwszy musi wybrać dokładnie 1 właściwy z 25, 2 jeden z 24 itd.

[małgosia]

Myślę, że to nie jest poprawne rozwiązanie zadania pirwszego.
Dla k=25

p25=1/25!

a dla k=24

p24=0, ponieważ ta ostatnia osoba nie może dostać prezentu inny niż swój.

Nie wiem jak szybko wyliczyć pozostałe prawdopodobieństwa. ??:

[ Dodano: 2 Styczeń 2007, 09:28 ]
Jeszcze jedno suma wszystkich prawdopodobieństw musi być równa 1

Ma ktoś inne pomysły...