Witam,
mam taką oto rekurencję:
\(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}-3a_{n-2}-3^{n-1}+3 \cdot 2^{n-2} \ dla \ n \ge 2, \ a_0=0, \ a_1=1}\)
Zapisałem ją następująco:
\(\displaystyle{ a_n=a_{n-1}-3a_{n-2}-\frac{1}{3} \cdot 3^n+\frac{3}{4} \cdot 2^{n} \ dla \ n \ge 2, \ a_0=0, \ a_1=1}\)
Po czym zapisałem funkcję tworzącą ciągu:
\(\displaystyle{ A(x)= \sum_{n=0}^{\infty} a_{n-1}x^n - 3\sum_{n=0}^{\infty}a_{n-2}x^n-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-3x}+\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1-2x}}\)
\(\displaystyle{ A(x)= x \cdot \sum_{n=0}^{\infty}a_{n-1}x^{n-1} - 3x^2 \sum_{n=0}^{\infty} a_{n-2}x^{n-2}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-3x}+\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1-2x}}\)
\(\displaystyle{ A(x)=x\cdot \left( \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n+a_0 x^0\right) -3x^2\left( \sum_{n=2}^{\infty}a_n x^n+a_1x^1+a_0x^0\right) -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-3x}+\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1-2x}}\)
\(\displaystyle{ A(x)= x A(x)-3x^2(A(x)+x)-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-3x}+\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{1-2x}}\)
Czy do tego momentu wszystko jest dobrze?
Chciałbym mieć pewność przechodząc do dalszego etapu zabaw z ułamkami prostymi...
Dziękuję i pozdrawiam,
A.