____ ___Ile jest permutacji zbioru \(\displaystyle{ [10]\;=\;1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}\), w których pierwsza liczba jest większa od \(\displaystyle{ 2}\), a ostatnia jest mniejsza od \(\displaystyle{ 9}\)?
1) Moje pierwsze rozumowanie to takie żeby policzyć ile jest permutacji takich, że pierwsza liczba to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) i ostatnia liczba to \(\displaystyle{ 9}\) lub \(\displaystyle{ 10}\).
No to policzyłem to tak, że na pierwszym miejscu mamy do wyboru 1 lub 2, na ostatnim 9 lub 10 a na pozostałych ośmiu miejscach permutujemy co zostało.
No to to jest: \(\displaystyle{ 2\cdot 2\cdot 8!}\).
A więc odpowiedź by była \(\displaystyle{ 10!\;-\;2\cdot 2\cdot 8!}\).
No ale podobno to jest źle. Gdzieś czegoś nie policzyłem albo policzyłem >=2 razy.
Nie rozumiem dlaczego. Mógłby ktoś wyjaśnić?
____ ___
2) Tamto było pierwsze rozumowanie. Teraz drugie z zasady włączania-wyłączania.
Analogicznie chcę policzyć ile jest permutacji takich, że pierwsza liczba to \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\) i ostatnia liczba to \(\displaystyle{ 9}\) lub \(\displaystyle{ 10}\).
Niech
\(\displaystyle{ A}\) - zbiór permutacji takich, że na pierwszym miejscu jest \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\)
\(\displaystyle{ B}\) - zbiór permutacji takich, że na ostatnim miejscu jest \(\displaystyle{ 9}\) lub \(\displaystyle{ 10}\)
Więc:
\(\displaystyle{ A\cap B}\) to zbiór permutacji takich, że oba powyższe warunki zachodzą.
\(\displaystyle{ A\cup B}\) to zbiór permutacji takich, że co najmniej jeden z powyższych warunków zachodzi.
Czyli: \(\displaystyle{ |A|=2\cdot 9! \\ |B|=9!\cdot 2 \\ |A\cap B|= 2\cdot 2\cdot 8! \\ |A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=4\cdot 9! - 4\cdot 8!}\)
W zeszycie odpowiedź końcową mam, że to jest \(\displaystyle{ 10! - (4\cdot 9! - 4\cdot 8!)}\). Wg mnie nie o to pytają, bo to jest liczba permutacji takich, że
[ gdzie LUB to nie alternatywa wykluczająca (XOR) tylko taka logiczna, matematyczna; precyzuję, bo w życiu domyślnie lub znaczy bardziej taki xor ]pierwsza liczba jest większa od \(\displaystyle{ 2}\) LUB ostatnia jest mniejsza od \(\displaystyle{ 9}\)
