Tożsamości kombinatoryczne

[tajner]

Proszę o pomoc w udowodnieniu w sposób kombinatoryczny następujących tożsamości:
1.\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}k(n+1-k)={n+2\choose 3}}\)

2.\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k}(m-1)^{n-k}=m^n}\)

3.\(\displaystyle{ {n\choose k}=\frac{n}{k}{n-1\choose k-1}}\) dla \(\displaystyle{ n,k>0}\)

[Errichto]

1.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ n+2}\) żołnierzy stoi w szeregu.
Generał staje przed 1. żołnierzem. Ile jest sposobów na wybranie 1 żołnierza stojącego na lewo i 1 na prawo od generała? \(\displaystyle{ 0 \cdot (n+1)}\). Generał robi krok w bok - staje przed 2. żołnierzem. Ile sposobów? \(\displaystyle{ 1 \cdot n}\). Itd. - staje przed każdym kolejno - mamy sumę po lewej.
Z \(\displaystyle{ n+2}\) żołnierzy wybieramy trzech. Środkowy (pod względem kolejności w szeregu) to ten, przed którym stoi generał. Pozostali to wybrani po obu stronach.
Nie wiem, czy nie zagmatwałem.