Sprawdzenie zadania

jakub1991 · Post autor: **jakub1991** » 30 mar 2011, o 18:21

Ile jest wyrazów 10 literowych ułożonych z liter A,B,C,D takich że litera A występuje dokładnie 3 razy, B dokładnie 2 razy i C conajmniej 2 razy .
Moja odpowiedz:
\(\displaystyle{ {10 \choose 3}\cdot {7 \choose 2}\cdot {5 \choose 2}+ {10 \choose 3}\cdot {7 \choose 2}\cdot {5 \choose 3} + {10 \choose 3}\cdot {7 \choose 2}\cdot {5 \choose 4} + {10 \choose 3}\cdot {7 \choose 2}}\)

Panrafal · Post autor: **Panrafal** » 31 mar 2011, o 06:29

Jak dla mnie się zgadza.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 31 mar 2011, o 09:01

a dla mnie jest źle.
Jest wiele róznych ciągów liter złożonych z tych samych liter.
To zadanie trzeba zrobić permutacjami z powtórzeniami

Panrafal · Post autor: **Panrafal** » 31 mar 2011, o 10:07

Jest wiele róznych ciągów liter złożonych z tych samych liter.

To zdanie nic nie wnosi.
Może napisz jak sobie wyobrażasz prawidłowe rozwiązanie bo na razie nic nie wyjaśniłeś. Ja rozumuję tak:
Mamy mieć dokładnie 3 litery A, więc wybieramy im 3 miejsca ( \(\displaystyle{ {10 \choose 3}}\) ), 2 litery B, więc dla nich 2 miejsca z pozostałych 7 ( \(\displaystyle{ {7 \choose 2}}\) ). I teraz najpierw policzymy sobie wszystkie wyrazy, które mają dodatkowo dokładnie dwie litery C. Skoro mają być dwie to im też wybieramy 2 miejsca (\(\displaystyle{ {5 \choose 2}}\) ), na pozostałych mamy literę D. W sumie wychodzi:

\(\displaystyle{ {10 \choose 3}\cdot {7 \choose 2}\cdot {5 \choose 2}}\)

Teraz policzymy wszystkie wyrazy, które mają dodatkowo 3 litery C. Analogicznie:
\(\displaystyle{ {10 \choose 3}\cdot {7 \choose 2}\cdot {5 \choose 3}}\)

4 litery:

\(\displaystyle{ {10 \choose 3}\cdot {7 \choose 2}\cdot {5 \choose 4}}\) i pięć: \(\displaystyle{ {10 \choose 3}\cdot {7 \choose 2}}\)

Ponieważ w każdej z tych grup mamy różną liczbę liter C to muszą być one rozłączne. Ponadto policzyliśmy wszystkie możliwe wyrazy spełniające założenia zadania, więc wydaje mi się , że wynik jest prawidłowy.

Errichto · Post autor: **Errichto** » 31 mar 2011, o 10:14

Wg mnie rozwiązanie dobre i zgadzam się z Panrafal.
Przydzielamy miejsca dla A i B:
\(\displaystyle{ {10 \choose 3} \cdot {7 \choose 2}}\)
I dla C:
\(\displaystyle{ {5 \choose 2} + {5 \choose 3} + {5 \choose 4} + {5 \choose 5}}\)
albo trochę krócej:
\(\displaystyle{ 2^5- {5 \choose 0}- {5 \choose 1}}\)
I mnożymy pierwszy wynik (wybór miejsc A i B) przez drugi (dowolny z dwóch następnych).

Panrafal · Post autor: **Panrafal** » 31 mar 2011, o 10:25

Faktycznie, wersja z 2 do 5 ładniejsza.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 31 mar 2011, o 10:43

Wycofuję sie z mego stwierdzenia. To jest to samo Najmocniej przepraszam.
Aczkolwiek moja sugestia o permutacji z powtórzeniami pozostaje w mocy, gdyz....... jest to de facto to samo. Wszak każdą permutację można rozpisać na iloczyn kombinacji.

Jesli rozpiszemy przedstawione rozwiazanie kombinacyjne i poskracamy, to otrzymamy własnie permutacje z powtórzeniami \(\displaystyle{ \frac{10!}{3!2!2!3!} + ...}\)
Albo pojechac w ten sam sposób z dopełnienia