2005 punktów na okręgu

[ranatharu]

Na okręgu wybieramy 2004 punkty "białe" i jeden punkt "czarny". Rozważamy wielokąty wypukłe, których wierzchołkami są tylko pewne punkty spośród wybranych. Rozstrzygnij, których wielokątów jest więcej: mających tylko "białe" wierzchołki, czy mających jeden wierzchołek "czarny" ?

[Errichto]

Ile jest zupełnie białych?
Wszystkich podzbiorów zbioru białych jest \(\displaystyle{ 2 ^{2004}}\).
Ale odpadają wielokąty o mniej niż 3 wierzchołkach czyli o 2 wierzchołkach, 1 wierzchołku lub bez wierzchołków.
\(\displaystyle{ 2 ^{2004}- ({2004 \choose 2} + {2004 \choose 1} + {2004 \choose 0} )}\)

Ile jest takich, które mają czarny punkt?
Musi być czarny i jakieś białe. Czyli tak jak poprzednio podzbiór białych, ale teraz odejmujemy tylko sytuacje, gdzie białych jest 0/1 - teraz, gdy mamy 2 białe mamy już wielokąt.
\(\displaystyle{ 2 ^{2004}- ({2004 \choose 1} + {2004 \choose 0} )}\)

Porównujemy i otrzymujemy, że więcej jest tych z czarnym punktem.

[amadeuszi]

Rozumiem skąd się wziął wzór Newtona, ale dlaczego Wszystkich podzbiorów zbioru białych jest \(\displaystyle{ 2^{2004}}\) . Mógłby mi ktoś wytłumaczyć?

[Ponewor]

Liczba podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ n}\)-elementowego to \(\displaystyle{ 2^{n}}\), bo jest to suma podzbiorów, zero-, jedno-, dwu-, ..., \(\displaystyle{ n}\)-elementowych czyli suma wyrazów w \(\displaystyle{ n}\)-tym wierszu trójkąta Pascala. Dowiedziesz tego łatwą indukcją, bądź rozpisując wzorem dwumianowym Newtona:
\(\displaystyle{ 2^{n}=\left(1+1\right)^{n}}\)