Listy i kule.

Siemion92 · Post autor: **Siemion92** » 28 mar 2011, o 20:24

Mam problem z dwoma zadaniami.
Zad.1. Na ile sposobów można rozmieścić m rozróżnialnych listów w m ponumerowanych skrytkach tak, aby:
a) co najmniej jedna skrytka była pusta? ( moja odpowiedź \(\displaystyle{ m ^{m} -m!}\) )
b) co najmniej dwie skrytki były puste?( moja odpowiedź \(\displaystyle{ m ^{m}- (m!+ \frac{m(m-1)}{2})}\)
c) dwa ustalone listy znalazły się w różnych skrytkach?( moja odpowiedź \(\displaystyle{ m ^{m}- m^{m-1})}\)

Czy mógłby ktoś potwierdzić te odpowiedzi a w razie błędów podać poprawne rozwiązanie?

Zad.2.
Na ile sposobów można rozmieścić k kul w n urnach \(\displaystyle{ k \le n}\):
a) kule są nierozróżnialne
b) kule są rozróżnialne
c) kule są nierozróżnialne, ale w jednej urnie może być maksymalnie jedna kula.

Tego zadania nie umiem. Proszę o pomoc

Errichto · Post autor: **Errichto** » 28 mar 2011, o 20:33

1. b)
\(\displaystyle{ m^m-(m!+ {m \choose 2}m! ) =m^m-m!( {m \choose 2}+1)}\)

2. a) \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\)

b) \(\displaystyle{ n^k}\)

c) \(\displaystyle{ {n \choose k}}\)

Siemion92 · Post autor: **Siemion92** » 28 mar 2011, o 21:22

A mógłbym prosić o wytłumaczenie podpunktu b z zadania 1 i a zadania 2 ?

Errichto · Post autor: **Errichto** » 28 mar 2011, o 21:58

1. b)

Ukryta treść:

2. a)

Ukryta treść:

Siemion92 · Post autor: **Siemion92** » 28 mar 2011, o 22:22

\(\displaystyle{ {m \choose 2} m!}\) to jest to samo co \(\displaystyle{ \frac{m(m-1)}{2}}\) dzięki wielkie za pomoc

Errichto · Post autor: **Errichto** » 28 mar 2011, o 22:34

Nie ma sprawy.

I teraz ja mam prośbę. Czy mógłbyś pokazać jakim cudem \(\displaystyle{ {m \choose 2}m!= \frac{m(m-1)}{2}}\)?

Siemion92 · Post autor: **Siemion92** » 28 mar 2011, o 23:26

Łooo machnąłem się gdzieś:) Moim zdaniem to masz błąd. Ja to robiłem tak. Mam dwa ustalone listy czyli ich już nie wybieram. I teraz tak wybieram pierwsza skrzynkę na m sposobów i do niej wkładam 1 list który jest ustalony, drugą skrzynkę wybieram na m-1 sposobów i tam wkładam drugi ustalony list, a resztę listów rozmieszczam w następujący sposób, mam m - 2 listy i rozmieszczam je w m skrzynkach czyli będzie wariacja z powtórzeniami.
\(\displaystyle{ {m \choose 1} {m-1 \choose 1} m^{m-2}=m ^{m}(m-1)}\)

Tak mi się wydaje, może Ty masz rację.

Errichto · Post autor: **Errichto** » 28 mar 2011, o 23:31

Chyba zacząłeś mówić o 1c). Czy może się mylę?
Ja tam twierdzę, że 1c) masz dobrze i nigdy nie mówiłem inaczej.
I znowu się machnąłeś:
\(\displaystyle{ {m \choose 1} {m-1 \choose 1} m^{m-2}=m(m-1)m ^{m-2}=(m-1)m ^{m-1}}\)

Siemion92 · Post autor: **Siemion92** » 28 mar 2011, o 23:44

Sorki już nie myślę już mi się mylą te zadania. Jeszcze raz na to zerknę.-- 28 marca 2011, 23:51 --Przepraszam masz rację.