Znajdź zwartą postać sumy
-
sabacs90
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 28 mar 2010, o 17:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piotrków Tryb.
Znajdź zwartą postać sumy
\(\displaystyle{ \sum_{i, j, k \in \mathbb{Z}} {n \choose i+j}{n \choose i+k}{n \choose k+j}}\)
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Znajdź zwartą postać sumy
Oznaczmy szukaną sumę:
\(\displaystyle{ S(n)}\).
Mamy
\(\displaystyle{ S(0)=1}\).
Jeśli \(\displaystyle{ n>0}\), to zauważmy, że
\(\displaystyle{ 2^{3n}=\sum_{a\in\mathbb{Z}}\binom na\sum_{b\in\mathbb{Z}}\binom nb\sum_{c\in\mathbb{Z}}\binom nc=\sum_{a,b\in\mathbb{Z}}\binom na\binom nb\left(\sum_{c=a+b\mbox{ mod } 2}\binom nc+\sum_{c\neq a+b\mbox{ mod } 2}\binom nc\right)=\\=\sum_{a,b\in\mathbb{Z}}\binom na\binom nb\cdot 2\cdot\sum_{c=a+b\mbox{ mod } 2}\binom nc=2\cdot\sum_{a+b=c\mbox{ mod }2}\binom na\binom nb\binom nc=2S(n)}\).
Skąd \(\displaystyle{ S(n)=2^{3n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\).
\(\displaystyle{ S(n)}\).
Mamy
\(\displaystyle{ S(0)=1}\).
Jeśli \(\displaystyle{ n>0}\), to zauważmy, że
\(\displaystyle{ 2^{3n}=\sum_{a\in\mathbb{Z}}\binom na\sum_{b\in\mathbb{Z}}\binom nb\sum_{c\in\mathbb{Z}}\binom nc=\sum_{a,b\in\mathbb{Z}}\binom na\binom nb\left(\sum_{c=a+b\mbox{ mod } 2}\binom nc+\sum_{c\neq a+b\mbox{ mod } 2}\binom nc\right)=\\=\sum_{a,b\in\mathbb{Z}}\binom na\binom nb\cdot 2\cdot\sum_{c=a+b\mbox{ mod } 2}\binom nc=2\cdot\sum_{a+b=c\mbox{ mod }2}\binom na\binom nb\binom nc=2S(n)}\).
Skąd \(\displaystyle{ S(n)=2^{3n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n>0}\).