równanie rekurencyjne (równanie charakterystyczne)

[dusk]

Witam,
posiadam pewien ciąg, który w zależności od liczby \(\displaystyle{ n}\), wypisuje odpowiednia liczbę punktów:
\(\displaystyle{ a_{1} = 1 \\
a_{2} = 5\\
a_{3} = 15\\
a_{4} = 37\\
a_{5} = 83\\
a_{6} = 177\\
a_{7} = 367\\
a_{8} = 749\\
a_{9} = 1 515\\
a_{10} = 3 049\\
a_{11} = 6 119\\
a_{12} = 12261\\
a_{13} = 24547\\
...\\
a_{n}=...}\)
należy wyznaczyć wzór na \(\displaystyle{ a_{n}=...}\) wyraz tego ciągu.
Łatwo zauważyć, że pasującym tu równaniem rekurencyjnym będzie funkcja
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2a_{n} + 2n+1}\)
Teraz muszę wyznaczyć wzór na \(\displaystyle{ a_{n}=...}\) wyraz tego ciągu.
Korzystając z pomocy Wolfram Alpha, uzyskałem ten wzór który wygląda następująco:
\(\displaystyle{ a_{n}=-2n + 3* 2^{n} - 3}\)
Wszystko ładnie pasuje, jednak to mi nie wystarcza, bo chcę wiedzieć jak dojść do tego matematycznie.
Korzystając z równania charakterystycznego, natrafiam na pierwszy problem. Mianowicie przekształcam równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{ a_{n+1}=2a_{n} + 2n+1}\)
na postać:
\(\displaystyle{ a_{n+2}=2a_{n+1} + 2n+1}\) i nie wiem co mam zrobić z \(\displaystyle{ 2n+1}\) aby ruszyć dalej, więc utykam w miejscu:
\(\displaystyle{ x^{2} = 2x^{1} +...}\)

Chyba że równanie charakterystyczne jest tutaj bezużyteczne ?
proszę o pomoc w ruszeniu z miejsca
pozdrawiam

[Crizz]

Takie równania można rozwiązywać metodą podobną do metody przewidywań (w równaniach różniczkowych), mianowicie:

Mamy np. równanie postaci \(\displaystyle{ Aa_{n+2}+Ba_{n+1}+Ca_{n}=f(n)}\)

Rozwiązujemy najpierw równanie \(\displaystyle{ Aa_{n+2}+Ba_{n+1}+Ca_{n}=0}\). Otrzymujemy jakieś tam rozwiązanie, powiedzmy, że \(\displaystyle{ a_n_G=c_1x_1^n+c_2x_2^n}\). Potem przewidujemy rozwiązanie szczególne. Tu mamy \(\displaystyle{ f(n)=2n+1}\), zatem przewidujemy \(\displaystyle{ a_n_P=an+b}\). Wstawiamy przewidzianą postać do wyjściowego równania, wyznaczamy \(\displaystyle{ a,b}\). Rozwiązanie to \(\displaystyle{ a_n=a_n_G+a_n_P}\) i trzeba jeszcze wyliczyć \(\displaystyle{ A,B}\) z warunków początkowych.

PS W swoim zadaniu niepotrzebnie podstawiasz \(\displaystyle{ x^2...}\), bo masz przecież zależność, która wiąże tylko dwa wyrazy ciągu.