suma ze wspolczynnikami Newtona

[Zordon]

Poszukuję ładnego dowodu następującej tożsamości (tzn. indukcja odpada):

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}k {2n \choose n+k}= \frac{n+1}{2} {2n \choose n+1}}\)

[Qń]

Będziemy używać wyłącznie podstawowych wzorów:
\(\displaystyle{ K {N \choose K} =N{N-1 \choose K-1}}\) oraz \(\displaystyle{ {N \choose K}+{N \choose K-1}={N+1 \choose K}}\)
Przyjmiemy też standardową konwencję, że \(\displaystyle{ {N \choose K}=0}\) dla \(\displaystyle{ K>N}\).

Mamy:
\(\displaystyle{ L= \sum_{k=1}^{n} k {2n \choose n+k} =\sum_{k=1}^{n} (n+k) {2n \choose n+k}-\sum_{k=1}^{n} n {2n \choose n+k}= \\ =
\sum_{k=1}^{n} 2n {2n-1 \choose n+k-1}-\sum_{k=1}^{n} n \left( {2n-1 \choose n+k}+{2n-1 \choose n+k-1}\right) =\\ =
n\cdot \sum_{k=1}^{n}\left(2 {2n-1 \choose n+k-1} -{2n-1 \choose n+k}-{2n-1 \choose n+k-1}\right) = \\ =
n\cdot \sum_{k=1}^{n}\left( {2n-1 \choose n+k-1} -{2n-1 \choose n+k}\right) =
n\cdot \left( {2n-1 \choose n} -{2n-1 \choose 2n}\right) = \\ =n {2n-1 \choose n} =
\frac 12 \cdot 2n {2n-1 \choose n}=\frac 12 (n+1) {2n \choose n+1}=P}\)

(w przedostatniej linijce suma zwinęła się "teleskopowo")

Q.

[Zordon]

Bardzo ładnie, zdecydowanie bardziej do mnie przemawia niż indukcja.
Zastanawia mnie jeszcze czy ten wzór posiada jakąś sensowną interpretację kombinatoryczną.