Gdzie jest błąd - kombinacje

[Tasoth]

Witam

Jest to fragment zadania z pewnej książki:

W pudełku jest 100 losów, w tym 9 wygrywających. Na ile sposobów można wybrać trzy losy, tak, aby wśród nich były przynajmniej dwa wygrywające?

Dobrym rozwiązaniem jest wskazanie dwóch przypadków z dwoma i trzema losami wygrywającymi. Potem liczymy dwumianami newtona i dodajemy przypadki. Chodzi mi jednak czemu następujący tok myślenia jest błędny? :

"Z 9 losów wygrywających wybieramy 2. Jest to możliwe na C = 36 sposobów. Następnie z pozostałych 98 losów wybieramy 1 (wygrywający lub przegrywający). Jest to możliwe na C = 98. Zatem wszystkich możliwości wylosowania 3 losów, tak aby przynajmniej 2 były wygrywające, jest 36*98 = 3528"

Czy ktoś jest w stanie wytłumaczyć mi, gdzie leży błąd?

Pozdrawiam

[TheBill]

Podam przykład: Załóżmy, że \(\displaystyle{ a_1, a_2,..., a_9}\) są wygrywające. Tak jak piszesz, losujemy dwa, niech będzie \(\displaystyle{ a_1, a_2}\) Teraz losujemy z pozostałych, wylosowaliśmy \(\displaystyle{ a_9}\).
Teraz inna sytuacja: losujemy dwa, wylosowaliśmy \(\displaystyle{ a_2, a_9}\), a z pozostałych wylosowaliśmy \(\displaystyle{ a_1}\).
Wniosek?

[Tasoth]

Widzę, że zmieniła się kolejność wylosowanych liczb, ale wciąż nie wiem jak to rozumieć, co dalej?

[TheBill]

W pierwszej i drugiej sytuacji wylosowałeś te same losy.

[Tasoth]

tak, te same, lecz wciąż nie widzę związku. TheBill, jeśli masz cierpliwość, umów lepiej ten problem. Co ma to że w obu przypadkach losuję te same losy, do różnicy w wynikach liczenia jedną błędną i drugą właściwą metodą? Którymi dokładnie przypadkami się różnią?

[TheBill]

Jeżeli losy się powtarzają to znaczy, że w obliczonych przez Ciebie sposobach (3528) powtarzają się niektóre wyniki losowania.

[Tasoth]

tak, z pewnością, niektóre są powtórzone. Chodzi mi bardziej o to że oba sposoby wydają się intuicyjne i logiczne na pierwszy rzut oka, jednak okazuje się że wyniki są różne. W pierwszym prawidłowym rozwiązaniu, wynik wygląda 3276 + 84 = 3360 , a w drugim niewłaściwym, wychodzi 36*98 = 3528 , a 3528 = 3276 + 3*84 , widzimy więc że owe 84 wydaje się niepotrzebnie powtórzone jeszcze dwa razy. Skąd ta różnica?

[TheBill]

Wynika to jak napisałem z powtórzeń, a dlaczego tyle jest tych powtórzeń? Tego już nie potrafię wytłumaczyć.