Rozdzielanie owoców między 3 ludzi

[vtvs]

Witam. Proszę o pomoc w poniższym zadaniu:

Na ile sposobów może rozdzielić 5 (identycznych) jabłek, 6 pomarańcz (identycznych), 4 ananasy (identyczne) pomiędzy 3 ludzi:
a) bez ograniczeń;
b)każda osoba dostaje co najmniej jedno jabłko?

Z góry dzięki i pozdrawiam.

[TheBill]

Skorzystaj z reguły mnożenia.

[vtvs]

Niestety, gdybym wiedział jak to tutaj zastosować, nie zadawałbym pytania.

[TheBill]

a) Bierzemy pierwsze jabłko, możemy je dać na 3 sposoby. Bierzemy drugie jabłko, możemy je dać na 3 sposoby. Bierzemy trzecie jabłko, możemy je dać na 3 sposoby... itd.

[vtvs]

Czyli rozumiem, że odpowiedzią na a) jest:

\(\displaystyle{ 3^5 + 3^6 + 3^4}\)

b)
\(\displaystyle{ 3^3 + 3^6 + 3^4}\)?

Pytam, bo mam zapisaną odpowiedź w stylu:
\(\displaystyle{ (5+4+3+2+1)*(6+5+4+3+2+1)*(4+3+2+1)}\) i nie wiem skąd się wzięła (a ma być dobra).

[TheBill]

a) chodziło mi o \(\displaystyle{ 3^{15}}\), ale teraz zauważyłem, że to rozwiązanie jest niepoprawne. (jak zwykle do każdego zadania z kombinatoryki chciałbym korzystać tylko z reguły mnożenia )

Co do podanej odpowiedzi, to nie wiem skąd się wzięła.

Może ktoś inny się wypowie?

[vtvs]

Anybody?

[Crizz]

Hmmm... moim zdaniem to nie jest poprawna odpowiedź. Ja bym rozwiązał a przy użyciu kombinacji z powtórzeniami: ze zbioru trzech osób losujemy multizbiór sześciu, którzy otrzymają pomarańczę, pięciu, którzy otrzymają jabłka i czterech, którzy otrzymają ananasy, czyli:

\(\displaystyle{ {3+5-1 \choose 5} \cdot {3+6-1 \choose 6} \cdot {3+4-1 \choose 4}=8820}\),
a to nie jest równe
\(\displaystyle{ (5+4+3+2+1) \cdot (6+5+4+3+2+1) \cdot (4+3+2+1)=3150}\).

[vtvs]

Odświeżę trochę wątek. Mógłby mi ktoś wytłumaczyć, dlaczego powyższa odpowiedź jest poprawna, a nie:
\(\displaystyle{ 3^5 \cdot 3^6 \cdot 3^4}\) ?

[milka333]

Owoce są identyczne, nierozróżnialne. Schemat kombinacji z powtórzeniami pokazuje na ile sposobów można przyporządkować \(\displaystyle{ n}\) nierozróżnialnych rzeczy \(\displaystyle{ k}\) rozróżnialnym osobom.
\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}= {n+k-1 \choose n}}\). Także wg mnie powinno to wyglądać tak:
a) \(\displaystyle{ {3+5-1 \choose 3} \cdot {3+6-1 \choose 3} \cdot {3+4-1 \choose 3}=39200}\)
b) \(\displaystyle{ {3+2-1 \choose 3} \cdot {3+6-1 \choose 3} \cdot {3+4-1 \choose 3}=4480}\).
Oczywiście nie ręczę, że to dobrze, ale ja bym tak zrobiła