Liczba kwadratow, prostokatow...

[darlove]

Niech dana bedzie zamknieta siatka kwadratowa, gdzie linii poziomych jest \(\displaystyle{ n}\), a linii pionowych \(\displaystyle{ m}\), czyli mamy \(\displaystyle{ (n-1)\cdot (m-1)}\) kwadratow na plaszczyznie.

Pytanie 1. Ile mozna na tej siatce zakreslic prostokatow (kwadrat tez jest prostokatem)?
Pytanie 2. Ile mozna na tej siatce zakreslic kwadratow?
Pytanie 3. Ile mozna na tej siatce zakreslic prostokatow, ktore nie sa kwadratami?
Pytanie 4. Ile mozna na tej siatce zakreslic prostokatow, ktore nie maja krawedzi wspolnej z brzegiem siatki?
Pytanie 5. Ile mozna zakreslic kwadratow, ktore nie maja krawedzi wspolnej z brzegiem?

Oczywiscie "zakreslic" znaczy utworzyc z krawedzi, ktore naleza do siatki.

[abc666]

Prostokąt można jednoznacznie wyznaczyć przez wybranie dwóch wierzchołków. Wybierasz dwie współrzędne poziome i dwie pionowe na \(\displaystyle{ {n \choose 2} \cdot {m \choose 2}}\) sposobów, ale musisz podzielić jeszcze przez dwa bo wybranie punktów najpierw a potem b oraz najpierw b potem a wyznacza nam ten sam prostokąt.
Z kwadratami analogicznie tylko, że wybranie dwóch wsp. np. pionowych wyznacza nam kwadrat. Pamiętaj, że trzeba wybrać mniejszą z liczb m i n.
Jeśli mają nie dotykać brzegu to problem jest ten sam tylko masz po 2 linię w każdym kierunku mniej.

[darlove]

Mylisz się: nie ma dzielenia przez 2, a z kwadratami nie jest tak prosto, jak ci się wydaje. Nie ma dzielenia przez 2, bo wybranie dwóch współrzędnych z osi X (bez uwzględnienia kolejności, bo mamy kombinacje), a potem wybranie 2 z osi Y, jednoznacznie wyznacza jeden i tylko jeden prostokąt.

[abc666]

Tak, masz racje z tym dzieleniem.

b)Kwadratów o boku 1 jest \(\displaystyle{ (m-1)(n-1)}\)
o boku dwa \(\displaystyle{ (m-2)(n-2)}\)
o boku trzy jest \(\displaystyle{ (m-3)(n-3)}\)
itd.
niech \(\displaystyle{ d=min(m-1,n-1)}\)
ogólnie
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{d} (m-i)(n-i)=\sum_{i=1}^{d} mn-i(m+n)+i^2=mnd-(m+n)\sum_{i=1}^{d} i + \sum_{i=1}^{d}i^2}\)
No i dalej już łatwo