Zadasa Szufladkowa Dirichleta, dowód rozwinięcia dziesiętne

[choko]

Udowodnić (wsk. nie wprost), że wśród dowolnie wybranych 11 liczb rzeczywistych co najmniej dwie mają rozwinięcia dziesiętne pokrywające się w nieskończonej ilości miejsc po przecinku (jeśli liczba ma skończone rozwinięcie dziesiętne to uzupełniamy je zerami)

[pipol]

Niech dane będzie \(\displaystyle{ 11}\) liczb rzeczywistych, oznaczmy je przez \(\displaystyle{ a_1 , a_2 , ..., a_{11} ,}\) Rozważmy \(\displaystyle{ 55}\) szyfladek o nazwach \(\displaystyle{ \{a_i , a_j \}}\) gdzie \(\displaystyle{ 1 \le i,j \le 11, i \neq j.}\) Liczbę naturalną \(\displaystyle{ k}\) umieszczamy w szufladce o nazwie \(\displaystyle{ \{a_i , a_j \}}\) jeżeli na \(\displaystyle{ k}\)-tym miejscu rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\displaystyle{ a_i}\) stoi taka sama cyfra jak na \(\displaystyle{ k}\)-tym miejscu rozwinięcia dziesiętnego liczby \(\displaystyle{ a_j .}\) Ponieważ liczb jest jedenascie a cyfr dziesięc więc każda liczba naturalna trafia do co najmniej jednej szufladki, a ponieważ szufladek jest skończona ilość a liczb naturalnych nieskończenie wiele więc pewna z szufladek zawiera nieskończenie wiele liczb naturalnych.

[choko]

A dlaczego akurat 55 szufladek?

[Jan Kraszewski]

Bo \(\displaystyle{ {11\choose 2}=55}\).

JK

[choko]

Nie rozumiem jeszcze tego wniosku masz 55 szufladek i 11 liczb, więc skąd wyskakuje ci nieskończenie wiele. A zresztą trzeba udowodnić, że 'co najmniej dwie mają rozwinięcia dziesiętne pokrywające się w nieskończonej ilości miejsc po przecinku'.

[abc666]

No to przecież to udowodnił.

[Jan Kraszewski]

Zauważ, że stosujesz zasadę szufladkową dwukrotnie, raz w wersji skończonej, a raz nieskończonej.

JK