Odleglość między punktami

[tajner]

Mam problem z takim zadankiem. Wg. mnie przyda się tu Zasada Szufladkowa Dirichleta

Wykazać, że w trójkącie równobocznym o boku długości \(\displaystyle{ x}\) nie można umieścić \(\displaystyle{ x^2+1}\) punktów tak, aby odległość dwóch spośród nich była większa niż \(\displaystyle{ 1}\).

Wiem, że pole tego trójkąta wynosi \(\displaystyle{ \frac{x^2 \sqrt{3}}{4}}\), ale co dalej?

[Crizz]

Przyda się. Wskazówka: podziel trójkąt na trójkąty równoboczne o boku długości \(\displaystyle{ 1}\).

[tajner]

TYlko jak mam dzielić trójkąt na mniejsze jak nie wiem ile ich będzie? Przecież pole jest niewiadomą.

[Crizz]

Pole tu się za bardzo nie przyda.

Nie szkodzi, że długość boku wynosi \(\displaystyle{ x}\). Możesz podzielić bok długości \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ x}\) odcinków o długości \(\displaystyle{ 1}\).

Spróbuj może rozwiązać to zadanie dla jakiegoś szczególnego przypadku, np. \(\displaystyle{ x=5}\), a potem zastosuj dokładnie takie samo rozumowanie dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\).

Ogólnie to zadanie jest trochę nieprecyzyjne. Musimy założyć, że \(\displaystyle{ x\in\mathbb{N}}\), żeby \(\displaystyle{ x^2+1}\) zawsze było liczbą naturalną. Poza tym:

tak, aby odległość dwóch spośród nich była większa niż \(\displaystyle{ 1}\).

powinno brzmieć "tak, aby odległość każdych dwóch spośród nich była większa niż \(\displaystyle{ 1}\)."