rozwiaz rekurencje metoda funkcji tworzacych

[marcyk00]

witam. jak rozwiazac
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} s_0 = 10,\\s_1 = 4,\\s_n = 5s_{n \ -1} + 6s_{n \ -2} \ - 10n\ - 13, n > 1 \end{array}}\)

wlasnie metoda funkcji tworzacych? potrafie do pewnego momentu mianowicie do tego jak sie rozwiazuje uklad rownan tzn wiem ze sie rozwiazuje ten uklad rownan ale nie potrafie go ulozyc

to juz inny przyklad ale o cos takiego chodzi

\(\displaystyle{ S(x)= \frac{3-8x}{(1+x)(1-2x)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{A}{(1 - x)}+\frac{B}{(1 - 2x)} = \frac{A(1-2x)+B(1-x)}{(1-x)(1-2x)}}\)
dalej juz nie jestem pewien ale
\(\displaystyle{ 3-8x=A(1-2x)+B(1-x)}\)
z tego wiem ze sie uklad rownan rozwiazuje ale nie potrafie go z tego utworzyc.

[Crizz]

\(\displaystyle{ 3-8x=A(1-2x)+B(1-x)}\)
\(\displaystyle{ 3-8x=A-2Ax+B-Bx}\)
\(\displaystyle{ -8x+3=(-2A-B)x+(A+B)}\),
zatem:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2A-B=-8 \\ A+B=3 \end{cases}}\)

Rozumiem, że to był jedyny problem? Jeśli chcesz, to pokaż, jak zaczynasz rozwiązywać pierwsze zadanie, gdyby nadał były problemy.

[marcyk00]

rozwiaze krok po kroku tj mnie uczyli
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a_0 = 1,\\a_1 = 1,\\a_n = a_{n \ -1} + 2a_{n \ -2} \ +(- 1)^n \ , n > 1 \end{array}}\)
1 zakladamy ze \(\displaystyle{ a_n=0}\) dla n<0
\(\displaystyle{ a_0=0+2*0+1=1}\) \(\displaystyle{ a_0}\) ok
\(\displaystyle{ a_1=1+2*0-1=0}\) nie ok
2
\(\displaystyle{ a_n = a_{n \ -1} + 2a_{n \ -2} \ +(- 1)^n + [n=1] \ /*x^n}\)
\(\displaystyle{ a_n x^n=a_{n \ -1}x^n + 2a_{n \ -2} x^n\ +(- 1)^n x^n +x^n 1[n=1]}\)
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_n x^n= \sum_{n=0}^{ \infty } a_{n \ -1}x^n + \sum_{n=0}^{ \infty } 2a_{n \ -2} x^n + \sum_{n=0}^{ \infty } (- 1)^n x^n + \sum_{n=0}^{ \infty } x^n [n=1]}\)
3
zakladam ze \(\displaystyle{ S(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } a_n x^n}\)
\(\displaystyle{ S(x)=xS(x)+2x^2 S(x)+ (-1)^n S(x) +x}\) _____ gdzie ____ \(\displaystyle{ (-1)^n S(x) = \frac{1}{1+x}}\) _____ i _____ \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } x^n [n=1] =x}\)


\(\displaystyle{ S(x)= x S(x)+2x^2 S(x)+\frac{1}{1+x} +x}\)
\(\displaystyle{ S(x)-x S(x)-2x^2 S(x) =\frac{1}{1+x} +x}\)
\(\displaystyle{ S(x)(1-x-2x^2)=\frac{1}{1+x} +x}\) ___ (nie wiem czemu spacji mi nie wpisuje ) __ \(\displaystyle{ /:(1-x-2x^2)}\)
\(\displaystyle{ S(x)=\frac{1}{1+x} \frac{1}{ -2x^2 -x +1} + \frac{x}{ -2x^2-x+1} = \frac{1 + x(1+x)}{ (1+x)(-2x^2-x+1} = \frac{1+x+x^2}{ (1+x)(1-x-2x^2)} = \frac{1+x+x^2}{(1+x)(1-2x)}}\)
tu juz cos bedzie nie tak
\(\displaystyle{ S(x)= \frac{1+x+x^2}{(1+x)(1-2x)}}\)
\(\displaystyle{ \frac{A}{1+x} + \frac{B}{1-2x}=\frac{A(1-2x) +B (1+x)}{(1+x)(1-2x)}}\)
\(\displaystyle{ 1+x+x^2=A(1-2x) + B (1-x)}\)
\(\displaystyle{ 1+x+x^2=A-2xA + B -xB}\)
\(\displaystyle{ 1+x+x^2=(-2xA-Bx) +(A+B)}\)
\(\displaystyle{ 1+x+x^2=x(-2A-B)+(A+B)}\)
no i teraz ten uklad rownan sie robi
wiec
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2A-B=1 \\ A+B=1 \end{cases}}\)
ale gdzies ten \(\displaystyle{ x^2}\) mi zostaje chyba 3x3 uklad rownan powinien wyjsc

[Crizz]

\(\displaystyle{ ... = \frac{1+x+x^2}{ (1+x)(1-x-2x^2)} = \frac{1+x+x^2}{(1+x)(1-2x)}}\)

Jesteś pewien, że to tak miało wyglądać?

Do tego miejsca jest wszystko OK. Teraz musisz rozłożyć \(\displaystyle{ 1-x-2x^2}\) na dwa czynniki liniowe. W rezultacie będziesz rozkładał na trzy ułamki proste, a nie na dwa.

[norwimaj]

\(\displaystyle{ 3-8x=A(1-2x)+B(1-x)}\)

W takich przypadkach jak ten, nie trzeba robić układu równań. Wystarczy

• podstawić \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\), otrzymując \(\displaystyle{ -1=B\frac{1}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ B=-2}\),
• podstawić \(\displaystyle{ x=1}\), otrzymując \(\displaystyle{ -5=-A}\), czyli \(\displaystyle{ A=5}\).

Metoda ta trochę gorzej działa, gdy są pierwiastki wielokrotne.

[marcyk00]

tak masz racje tam blad jest . czyli w tym miejscu gdzie pisalem ze cos nie tak bedzie powinno byc (czyli to S(x) to jest wyliczona funkcja tworzaca dalej liczymy aby otrzymac wzor jawny )__ \(\displaystyle{ S(x)= \frac{1+x+x^2}{(x+1)(x-1)(x- \frac{1}{2}) }}\)
\(\displaystyle{ \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}+ \frac{C}{x- \frac{1}{2}}}\)
tu znowu nie jestem pewien A pomnozyc przez mianownik z B i z C ? czyli
\(\displaystyle{ \frac { A(x-1)(x- \frac{1}{2}) +B (x+1)(x- \frac{1}{2})+C(x+1)(x- \frac{1}{2} )}{ (x+1)(x-1)(x- \frac{1}{2}) }}\)
\(\displaystyle{ 1+x+x^2= A(x-1)(x- \frac{1}{2}) +B (x+1)(x- \frac{1}{2})+C(x+1)(x- \frac{1}{2} )}\)
wymnazam przez nawiasy A B i C
\(\displaystyle{ 1+x+x^2= Ax^2- \frac{3}{2} xA +\frac{1}{2}A +B x^2 +\frac{1}{2}xB- \frac{1}{2}B +Cx^2-C}\)
wyciagam przed nawias kolejno \(\displaystyle{ x^2}\) , x i wyrazy wolne
\(\displaystyle{ 1+x+x^2= x^2 (A+B+C)+x(- \frac{3}{2}A+ \frac{1}{2}B)+( \frac{1}{2}A- \frac{1}{2}B-C)}\)
i uklad rownan
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 1=A+B+C\\1=-\frac{3}{2}A+\frac{1}{2}B\\1=\frac{1}{2}A-\frac{1}{2}B-C \end{array}}\)

i ten uklad rownan tez mi nie wychodzi normalna metoda . a metoda ukladu cramera wyznacznik glowny =-6 Wx=-2 Wy=-18 Wz=12
a wiec A=\(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
B=3
C=-2
jak juz mam A B i C to podstawiam za A B i C wyliczone wartosci do
\(\displaystyle{ \frac{A}{x+1} + \frac{B}{x-1}+ \frac{C}{x- \frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{3}}{x+1} + \frac{3}{x-1}+ \frac{-2}{x- \frac{1}{2}}}\)
analizujac inny przyklad wnioskuje ze mozna licznik wyciagnac przed nawias czy ulamek
\(\displaystyle{ =\frac{1}{3}(\frac{1}{x+1})+3(\frac{1}{x-1})-2(\frac{1}{x-\frac{1}{2}})}\)

jesli nie ma bledu w tym co pytalem czy A mam wymnozyc prze mianownik B i C ( i analogicznie B wymnozyc przez mianownik A i C ) to powinno byc dobrze .
\(\displaystyle{ = \frac{1}{3}(\frac{1}{1-(-x)})+3(\frac{1}{-1-(-x)})-2(\frac{1}{-\frac{1}{2}-(-x)})}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{3}\sum_{n=0}^{ \infty }(-x)^n +3 \sum_{n=0}^{ \infty } ..........-2 \sum_{n=0}^{ \infty } ..........}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{3}\sum_{n=0}^{ \infty }(x)^n (-1)^n +3 \sum_{n=0}^{ \infty } ..........-2 \sum_{n=0}^{ \infty } ..........}\)
dalej sie wylicza z tego juz ten wzor jawny czyli \(\displaystyle{ a_n}\) przepisujac to co wyzej oprocz \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }(x)^n}\)
zatem wychodzi
\(\displaystyle{ a_n= \frac{1}{3}(-1)^n+3......-2......}\)

[norwimaj]

tu znowu nie jestem pewien A pomnozyc przez mianownik z B i z C ? czyli
\(\displaystyle{ \frac { A(x-1)(x- \frac{1}{2}) +B (x+1)(x- \frac{1}{2})+C(x+1)(x- \frac{1}{2} )}{ (x+1)(x-1)(x- \frac{1}{2}) }}\)

Powinno być
\(\displaystyle{ \frac { A(x-1)(x- \frac{1}{2}) +B (x+1)(x- \frac{1}{2})+C(x-1)(x+1)}{ (x+1)(x-1)(x- \frac{1}{2}) }}\)

[Crizz]

Metoda byłaby OK, ale...

Zgubiłeś \(\displaystyle{ -2}\) z \(\displaystyle{ -2x^2}\) i masz zły znak w jednym z czynników, przecież \(\displaystyle{ 1-x-2x^2=-2\left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-(x+1)(2x-1)}\).

Dostajesz w mianowniku \(\displaystyle{ (1-2x)(x+1)^2}\), czyli w rozkładzie na ułamki proste będzie \(\displaystyle{ \frac{A}{1-2x}+\frac{B}{1+x}+\frac{Cx+D}{(1+x)^2}}\).

[norwimaj]

Crizz, racja. Ja spojrzałem tylko na ostatni post.

Wydaje mi się że w tym, co Ty napisałeś, jest pewna redundancja:

Dostajesz w mianowniku \(\displaystyle{ (1-2x)(x+1)^2}\), czyli w rozkładzie na ułamki proste będzie \(\displaystyle{ \frac{A}{1-2x}+\frac{B}{1+x}+\frac{Cx+D}{(1+x)^2}}\).

Moim zdaniem \(\displaystyle{ B}\) albo \(\displaystyle{ C}\) jest niepotrzebne. Wystarczy jedno z nich. Ja bym usunął \(\displaystyle{ C}\).

[Crizz]

Jasne, że jest, odruchowo tak napisałem. Dzięki za zwrócenie uwagi. Jak najbardziej wywalić \(\displaystyle{ C}\). Oczywiście taka postać \(\displaystyle{ Cx+D}\) byłaby potrzebna tylko wtedy, gdyby ten trójmian w mianowniku był nierozkładalny w \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

[marcyk00]

tu znowu nie jestem pewien A pomnozyc przez mianownik z B i z C ? czyli
\(\displaystyle{ \frac { A(x-1)(x- \frac{1}{2}) +B (x+1)(x- \frac{1}{2})+C(x+1)(x- \frac{1}{2} )}{ (x+1)(x-1)(x- \frac{1}{2}) }}\)

Powinno być
\(\displaystyle{ \frac { A(x-1)(x- \frac{1}{2}) +B (x+1)(x- \frac{1}{2})+C(x-1)(x+1)}{ (x+1)(x-1)(x- \frac{1}{2}) }}\)

znowu macie racje.
czyli to by bylo dobrze po wniesienu tej poprawki co wyzej jest napisana ?
oprocz tego nie widac bledow? jesli nie to fajnie zalapalem chyba metode jak to wszystko sie robi . nie chce mi sie juz tego zmieniac ale zalozmy ze jest dobrze i pytanie jak dalej te sigmy wyliczyc z tego co napisalem .......
w ktorym miejscu zgubilem \(\displaystyle{ -2 z -2x^2}\) i gdzie widac zły znak w jednym z czynników, jesli mozna to prosil bym o podanie numeru linijki

[norwimaj]

w ktorym miejscu zgubilem \(\displaystyle{ -2 z -2x^2}\) i gdzie widac zły znak w jednym z czynników, jesli mozna to prosil bym o podanie numeru linijki

Nie \(\displaystyle{ -2 z -2x^2}\) tylko \(\displaystyle{ -2}\) z \(\displaystyle{ -2x^2}\) ("z" jest tu przyimkiem wskazującym na pochodzenie \(\displaystyle{ -2}\)). Po prostu źle rozłożyłeś mianownik. Wyżej masz napisane jak powinno być:

\(\displaystyle{ 1-x-2x^2=-2\left(x+1\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)=-(x+1)(2x-1)}\).

zalozmy ze jest dobrze i pytanie jak dalej te sigmy wyliczyc z tego co napisalem .......

Korzystając ze wzoru
\(\displaystyle{ \frac{1}{1-a}=\sum_{n=0}^\infty a^n}\) dla \(\displaystyle{ |a|<1}\)

i ze wzoru na
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-a)^2}}\),
który można wyprowadzić różniczkując poprzedni wzór względem \(\displaystyle{ a}\).

Musisz otrzymane ułamki zapisać tak, żeby się dało z tych wzorów skorzystać, np.
\(\displaystyle{ \frac{1}{2x-1}=-\frac{1}{1-2x}=-\sum_{n=0}^\infty (2x)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1)2^nx^n}\).

[marcyk00]

z tym -2z to spacji mi sie nie wcisnelo . ze tak powinno byc to juz wiem ale nie widze u siebie tego w ktorym miejscu to by bylo. a ten wzor to ja znalem \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty }x^n=\frac{1}{1-x}}\) tylko z tamtymi nie wiedzialem jak zrobic

[norwimaj]

z tym -2z to spacji mi sie nie wcisnelo.

W trybie matematycznym w \(\displaystyle{ \LaTeX}\)-u spacje są pomijane.

[marcyk00]

jeszcze raz od nowa zaczolem robic ten przyklad . wyczajilem te bledy o ktorych Panowie pisaliscie. wieczorkiem jeszcze zapytam o te sigmy czy dobrze rozwiazalem bo w tej chwili nie moge. dzieki za pomoc.