Udowodnić sume ciągu

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 16 gru 2006, o 13:04

Po pierwsze nie bardzo wiem gdzie to umieścić.. no a po drugie to już zadanie:

Udowodnić że \(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k {n\choose k}=0}\)

Bawcie sie dobrze:P

Marley · Post autor: **Marley** » 16 gru 2006, o 13:54

pierwsza rzecz jaka mi wpada do głowy to zależnosć od tego czy to będzie miało znak ujemny cz dodatni bo to zależy od liczby \(\displaystyle{ (-1)^{k}}\) jeśli k będzie parzyste to \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) to wyrażienie będzie dodatnie. W przeciwnym wypadku będzie ujemne. A więc otrzymamy sumę na przemian liczb dodatnich i ujemnych

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 16 gru 2006, o 14:01

wiem... tzn dla nieparzystych łatwo udowodnić tylko jak udowodnić dla parzystych.. bo to wychodzi że środkowa wartość ciągu jest równa sumie pozostałych ze zmienionym znakiem..

[ Dodano: 16 Grudzień 2006, 14:06 ]
tzn dla \(\displaystyle{ n=2p p Z}\) znaczy p całkowite.. no kurde jednym słowem n parzyste.. bo wtedy ilość wyrazów jest nieparzysta i sie nie skracają..

Lorek · Post autor: **Lorek** » 16 gru 2006, o 14:17

Oj kombinujecie
\(\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}1^{n-k}\cdot (-1)^k=(1-1)^n}\)

Marley · Post autor: **Marley** » 16 gru 2006, o 14:19

ale dalczego ty to se rozpisujesz?? to jeśli tak nie wychodzi to spróbuj to wykazać indukcyjnie a poza tym nei mozesz tego rozłożyć se na dwie osobne sumy musisz to potraktować jako jedną sumę i tak jak już mówiłem spróbuj to wykazać indukcyjnie może wyjdzie ^^

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 16 gru 2006, o 14:20

lorek sorry ale nie łapie:P

[ Dodano: 16 Grudzień 2006, 14:22 ]
marley ja rozpatruje dwa przypadki... kiedy n jest parzyste i drugi kiedy n jest nieparzyste.. i udowodniłem indukcyjnie to drugie... ale pierwszego nie umiem... ale lorek coś wykombinował tej tylko nie wiem co:P

Lorek · Post autor: **Lorek** » 16 gru 2006, o 14:25

Dwumian Newtona:
\(\displaystyle{ (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^k}\)

mostostalek · Post autor: **mostostalek** » 16 gru 2006, o 14:28

ojej... faktycznie

masz punkt