Pasażerowie w windzie; elementy rozrożnialne i nierozrożnial

MakCis · Post autor: **MakCis** » 7 lut 2011, o 19:33

Na ile sposobów może opuścić windę jadącą od pięta I do VII dziesięciu pasażerów (zakładamy, że są nierozróżnialni) ?

Nie rozumiem dlaczego poprawny wynik to \(\displaystyle{ {7+10-1 \choose 10} = 8008}\)

Ja to zadanie rozumiem w ten sposób, że na pierwszym piętrze windę może opuścić 10 pasażerów, na drugim też 10, podobnie na pozostałych co w sumie daje \(\displaystyle{ 10^7}\) możliwości.

Poza tym nie jestem w stanie zrozumieć różnicy między elementami rozrożnialnymi a nierozrożnialnymi. Będę niezwykle wdzięczny za pomoc.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 7 lut 2011, o 23:03

MakCis pisze: Ja to zadanie rozumiem w ten sposób, że na pierwszym piętrze windę może opuścić 10 pasażerów, na drugim też 10, podobnie na pozostałych co w sumie daje \(\displaystyle{ 10^7}\) możliwości.

Jeżeli na pierwszym piętrze wysiądzie 10, to na pozostałych żaden. Stąd gdybyśmy rozpatrywali tą możliwość (na każdym piętrze wszyscy, to sposobów jest 70).

Poza tym nie jestem w stanie zrozumieć różnicy między elementami rozrożnialnymi a nierozrożnialnymi. Będę niezwykle wdzięczny za pomoc.

To znaczy, że interesuje nas tylko liczba wysiadających pasażerów, i "dla zadania" jest to samo gdy na 4 piętrze wysiądzie Zenek, Jadzia i Ewelina, czy Zenek, Ewa i Gucio itd. (W teorii są to - chyba - kombinacje równoważne.)
Modelem dla tego zadania może być: Na ile sposobów można włożyć 10 identycznych kul do 7 szuflad.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 13 lut 2011, o 10:41

MakCis pisze:Na ile sposobów może opuścić windę jadącą od pięta I do VII dziesięciu pasażerów (zakładamy, że są nierozróżnialni) ?

Nie rozumiem dlaczego poprawny wynik to \(\displaystyle{ {7+10-1 \choose 10} = 8008}\)

Jest to klasyczna kombinacja z powtórzeniami mówiąca ile można utworzyć niepustych podzbiorów k -elementowych ze zbioru n-elementowego. W tym zadaniu k=10 n=7 (piętra). Np. podzbiór:

\(\displaystyle{ \left\{ I;I;I;V;V;V;VI;VI;VI;VII\right\}}\)

oznacza, że na I i V i VI pietrze wysiadły po 3 osoby (nieistotne kto) a na VII piętrze 1 osoba

MakCis pisze:Ja to zadanie rozumiem w ten sposób, że na pierwszym piętrze windę może opuścić 10 pasażerów, na drugim też 10, podobnie na pozostałych co w sumie daje \(\displaystyle{ 10^7}\) możliwości.

I tak właśnie byłoby gdyby pasażerowie byli rozróżnialni (w przeciwieństwie do sytuacji powyżej). Wtedy mamy k-elementowe wariacje z powtórzeniami ze zbioru n-elementowego. To tak jakby każda kolejna osoba losowała kartkę z numerem piętra na którym wysiądzie zwracała wylosowaną kartkę, losowała następna osoba itd.