wyznaczenie sumy ciągu

SanczoPanczo · Post autor: **SanczoPanczo** » 7 lut 2011, o 15:40

Witam. Mam pytanie dot. TREŚCI ZADANIA, bo nie wiem czy do końca zrozumiałem o co w nim chodzi, a więc treść zadania jest następująca.

Mam podane 2 ciągi w postaci rekurencyjnej tj.:

\(\displaystyle{ a_0 = a_1 = 1}\)
\(\displaystyle{ a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n , dla n \ge 0}\)

oraz podobnie zdefiniowany ciąg \(\displaystyle{ \left\{ b_n\right\}}\), ale on w tym podpunkcie zadania nie jest potrzebny.

W dwóch pierwszych podpunktach mam za zadanie min. podać i rozwiązać równanie charakterystyczne, podać wzór jawny dla obu ciągów (oddzielnie oczywiście ), wyznaczyć funkcję tworzącą. Ostatni podpunkt zadania to:

Wyznacz sumę: \(\displaystyle{ S_n = \sum_{n=0}^{n} a_n}\)

Czy mam wyznaczyć \(\displaystyle{ S_n}\) przy pomocy wzoru na sumę ciągu geometrycznego tj.

\(\displaystyle{ S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n q^{k-1}a_1 = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}}\)

\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n-1}} = q}\)

Czy o to chodzi w tym podpunkcie ?

Jeżeli tak to wyznaczać chyba najlepiej z otrzymanego wzoru jawnego tą sumę, prawda czy fałsz ?

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 7 lut 2011, o 15:46

zapisz sobie kilka poczatkowych wyrazów ciagu najpierw

SanczoPanczo · Post autor: **SanczoPanczo** » 7 lut 2011, o 16:26

mat1989 pisze:zapisz sobie kilka poczatkowych wyrazów ciagu najpierw

Wyliczając z zależności rekurencyjnej wyszło mi tak:

\(\displaystyle{ a_0 = 1}\)
\(\displaystyle{ a_1 = 1}\)
\(\displaystyle{ a_2 = -1}\)
\(\displaystyle{ a_3 = -11}\)
\(\displaystyle{ a_4 = -49}\)
\(\displaystyle{ a_5 = -179}\)

Nie mam pojęcia co z tym zrobić...

mat1989 · Post autor: **mat1989** » 7 lut 2011, o 16:39

przy n dążącym do nieskończoności, q=3.
Wydaje się, że jest to złożenie ciągu arytmetycznego i geometrycznego

abc666 · Post autor: **abc666** » 7 lut 2011, o 17:26

SanczoPanczo, rozwiąż najpierw wcześniejsze podpunkty i wtedy licz sumę. Jeśli to nie jest ciąg geometryczny to nie o to chodzi w ostatnim podpunkcie.

SanczoPanczo · Post autor: **SanczoPanczo** » 7 lut 2011, o 23:55

abc666 pisze:SanczoPanczo, rozwiąż najpierw wcześniejsze podpunkty i wtedy licz sumę. Jeśli to nie jest ciąg geometryczny to nie o to chodzi w ostatnim podpunkcie.

Dla tego ciągu miałem obliczyć "tylko" postać jawną i wyszła mi poprawna czyli:

\(\displaystyle{ a_n = 2^{n+1} - 3^n}\)

Ale wyrazy jakby nie było wychodzą takie same, czyli:
\(\displaystyle{ a_0 = 1}\)
\(\displaystyle{ a_1 = 1}\)
\(\displaystyle{ a_2 = -1}\)
\(\displaystyle{ a_3 = -11}\)

Dzięki za pomoc!!

mat1989: Nie wiem jak ustosunkować się do Twojego posta Czy mógłbyś rozwinąć tą myśl ? Nie znam czegoś takiego jak mix arytmetyczno-geometryczmy, a iloczynu ciągu równego 3 tam nie widzę, proszę rozwiń to co napisałeś... Dzięki za posta!!

Crizz · Post autor: **Crizz** » 8 lut 2011, o 00:11

SanczoPanczo pisze: Jeżeli tak to wyznaczać chyba najlepiej z otrzymanego wzoru jawnego tą sumę, prawda czy fałsz ?

No jasne, przecież \(\displaystyle{ a_n=b_n-c_n}\), gdzie \(\displaystyle{ b_n=2^{n+1},c_n=3^n}\), a to są już ciągi geometryczne i można obliczyć ich sumę n początkowych wyrazów.

SanczoPanczo · Post autor: **SanczoPanczo** » 8 lut 2011, o 01:44

Crizz pisze:
SanczoPanczo pisze: Jeżeli tak to wyznaczać chyba najlepiej z otrzymanego wzoru jawnego tą sumę, prawda czy fałsz ?
No jasne, przecież \(\displaystyle{ a_n=b_n-c_n}\), gdzie \(\displaystyle{ b_n=2^{n+1},c_n=3^n}\), a to są już ciągi geometryczne i można obliczyć ich sumę n początkowych wyrazów.

\(\displaystyle{ S_n = \sum_{n=0}^{n} a_n = - \sum_{n=0}^{n} \left\{ 2\left( 1-2^n\right) + \frac{3\left( 1-3^n\right) }{2}\right\}}\)

Czy to rozwiązanie jest poprawne ? Czy jest ostateczne ?

Dziękuje za pomoc.

Crizz · Post autor: **Crizz** » 8 lut 2011, o 12:10

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}2^{k+1}=2^{n+2}-2}\)

Poza tym techniczne uwagi:
zapis \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{n}}\) nie ma większego sensu. Nazwij inaczej zmienną, po której iterujesz.
rozumiem, że to błąd nieuwagi, ale po prawej stronie równości nie powinno już być znaku sumy. Sumę właśnie obliczyłeś.

SanczoPanczo · Post autor: **SanczoPanczo** » 8 lut 2011, o 16:19

Crizz pisze:[...]
rozumiem, że to błąd nieuwagi, ale po prawej stronie równości nie powinno już być znaku sumy. Sumę właśnie obliczyłeś.

Powyżej kazono mi obliczyć oddzielnie sumę dla ciągów geometrycznych, czyli:

\(\displaystyle{ b_n=2^{n+1},c_n=3^n}\)

Wyliczyłem oddzielnie dla \(\displaystyle{ b_n}\) oraz oddzielnie dla \(\displaystyle{ c_n}\), a potem dodałem te dwie sumy.

I policzyłem, a potem je dodałem tak jak to mi w \(\displaystyle{ a_n}\) wyszło, źle ?

Crizz · Post autor: **Crizz** » 8 lut 2011, o 18:08

SanczoPanczo pisze: \(\displaystyle{ S_n = \sum_{n=0}^{n} a_n = - \sum_{n=0}^{n} \left\{ 2\left( 1-2^n\right) + \frac{3\left( 1-3^n\right) }{2}\right\}}\)

Miałem na myśli to, że powinno być \(\displaystyle{ S_n = \sum_{k=0}^{n} a_k = - \left\( 2\left( 1-2^n\right) + \frac{3\left( 1-3^n\right) }{2}\right\)}\) - bez znaku sumy

Ale to i tak jest źle, bo \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}2^{k+1}=2^{n+2}-2 \neq -2\left( 1-2^n\right)}\).

SanczoPanczo · Post autor: **SanczoPanczo** » 9 lut 2011, o 01:51

Crizz pisze:
SanczoPanczo pisze: \(\displaystyle{ S_n = \sum_{n=0}^{n} a_n = - \sum_{n=0}^{n} \left\{ 2\left( 1-2^n\right) + \frac{3\left( 1-3^n\right) }{2}\right\}}\)
Miałem na myśli to, że powinno być \(\displaystyle{ S_n = \sum_{k=0}^{n} a_k = - \left\( 2\left( 1-2^n\right) + \frac{3\left( 1-3^n\right) }{2}\right\)}\) - bez znaku sumy

Ale to i tak jest źle, bo \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}2^{k+1}=2^{n+2}-2 \neq -2\left( 1-2^n\right)}\).

Popełniłem błąd przy obliczeniach, tak mi wyszło i wygląda na to, że jest poprawnie:

\(\displaystyle{ S_n = \sum_{k=0}^{n} a_n = -4(1-2^n) - \frac{3\left( 1-3^n\right) }{2}}\)

Bez uproszczenia, ale "działa".

Dzięki za pomoc