obliczenie szeregu z dwumianem i potęgami

[SanczoPanczo]

Witam. Mam zadanie z poleceniem:

Oblicz: \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (-1)^k\left( ^n_{k} \right) 3^k2^{n-k}}\)

Potrafię podstawić zmienne i rozwinąć szereg, ale tutaj mamy zmienną n, która chyba w domyśle ma dążyć do nieskończoności i trzeba chyba jakiś wzór wyprowadzić z tego szeregu, bo innego wyjścia nie widzę, a to chyba jest błędne myślenie, bo wyraźnie mam polecenie napisane - obliczyć.



Jak należy poprawnie rozwiązać to zadanie ?

Pozdrawiam i dziękuje za pomoc.

[Qń]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (-1)^k {n \choose k} 3^k2^{n-k}=\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} (-3)^k2^{n-k}}\)
Wystarczy więc użyć wzoru dwumianowego Newtona.

Q.

[SanczoPanczo]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} (-1)^k {n \choose k} 3^k2^{n-k}=\sum_{k=1}^{n} {n \choose k} (-3)^k2^{n-k}}\)
Wystarczy więc użyć wzoru dwumianowego Newtona.

Q.

Ok, ale co to mi daje tak właściwie ? Wzór dwumianu Newtona jest następujący:

\(\displaystyle{ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k}\)

I jedyne, co z tego wyciągnąć mogę to \(\displaystyle{ x=2}\) i \(\displaystyle{ y=-3}\).

Czyli: \(\displaystyle{ \left( 2-3\right)^n = \left( -1\right)n}\)

Czy to jest wynik końcowy tego zadania ?

Polecenie było "oblicz", a ja daje taki średnio konkretny wynik

[Qń]

W przypadku sum "oblicz" to tyle co "przedstaw w postaci zwartej" czyli bez znaku sumy (i bez wielokropka ). \(\displaystyle{ (-1)^n}\) to jak najbardziej "konkretny wynik".

Q.