8 różnokolorowych kul, 3 pudełka, zadne nie jest puste

[smmileey]

Adam ma osiem różnokolorowych piłeczek. Oblicz na ile sposobów może je umieścić w trzech pudełkach, zakładając, że żadne nie jest puste.

Wszystkich możliwości jest \(\displaystyle{ 3^{8}}\). Trzeba więc odjąć te sytuacje, gdy choć jedno jest puste. Jeśli dokładnie jedno jest puste, to jest \(\displaystyle{ 3 * 2^{8}}\) możliwości rozłożenia piłeczek na dwóch pozostałych , jeśli dokładnie dwa są puste to są tylko 3 możliwości. Nie może być sytuacji, żeby wszystkie były puste. Wyszło mi więc, że ostateczna odpowiedź to:
\(\displaystyle{ 3^{8}- ( 3* 2 ^{8} + 3 )}\), podczas gdy w odpowiedzi jest \(\displaystyle{ 3^{8} - 3!}\).

Błąd w moim rozumowaniu, czy w rozwiązaniu?
Jeśli w tym pierwszym przypadku, proszę o wytłumaczenie.

[sebnorth]

W tych \(\displaystyle{ 3 \cdot 2^{8}}\) możliwości po dwa razy są sytuacje że wszystkie piłeczki lądują w jednym pudełku, więc trzeba by je dodać, te 3 możliwosci, więc wynik będzie \(\displaystyle{ 3^{8} - 3 \cdot 2 ^{8} + 3}\)

[smmileey]

Czyli za każdym razem zachodzą 2 sytuacje, gdzie piłeczki lądują w jednym pudełku, ale nie możemy dodać 6 możliwości, bo każda sytuacja się powtarza 2 razy, więc zostają 3 możliwości, które należy dodać, tak?

[sebnorth]

jeśli kule lądują tylko w pudełku 1 to są zliczane raz przy okazji pary pudełek 1 i 2 oraz raz przy okazji pary pudełek 1 i 3, gdzie nr 3 i nr 2 sa puste odpowiednio. Zatem odejmując je dwukrotnie trzeba zwrócić je raz. I wtedy będą odjęte raz, tak jak należy.

[smmileey]

Właśnie o tym mówię Dzięki za pomoc!