Permutacja słowa MATEMATYKA

sachkan · Post autor: **sachkan** » 4 lut 2011, o 18:55

Witam, mam pytanie odnośnie
Ile jest permutacji słowa MATEMATYKA, w których przynajmniej jedna z grup liter występujących więcej niż jeden raz w tym słowie stoi obok siebie.

Próbuje ugryźć to zasadą mnożenia. Np. żeby "M" stało koło siebie to 9!, są 3 litery które występują więcej niż 1, ale jak traktować A?

Pozdrawiam

JankoS · Post autor: **JankoS** » 5 lut 2011, o 14:16

Próbowałbym od liczby wszystkich możliwych permutacji odjąć liczbę tych, które nie spełniają warunku zadania.

sachkan · Post autor: **sachkan** » 5 lut 2011, o 14:47

Tak też próbowałem, ale gdzieś muszę mieć błąd. Wszystkich możliwych permutacji, będzie \(\displaystyle{ P^{2,3,2}_{10} = \frac{10!}{2!*3!*2!}}\), natomiast nie spełniających warunku zadania jest? No właśnie to jest dobre pytanie... Jakieś wskazówki?

Pozdrawiam.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 5 lut 2011, o 18:13

No więc może lak.
Tworzymy permutacje z sześciu liter M, A, T, E, Y, K i po kolei dokładamy pozostałe litery tak, żeby nie sąsiadowały z takimi samymi.
Zacznijmy od M. W każdej z 6! permutacji możemy to zrobić na 6 + 1 sposobów, ale 2 z nich są "zabronione", więc pozostaje \(\displaystyle{ 6+1-2=5}\). Stąd i z zasady mnożenia dostajemy \(\displaystyle{ 6! \cdot 5}\) siedmioliterowych wyrazów, w których M nie sąsiaduje ze sobą.
Teraz T. W każdej z \(\displaystyle{ 6! \cdot 5}\) permutacji możemy to zrobić na 7 + 1 sposobów, ale 2 z nich są "zabronione", więc pozostaje \(\displaystyle{ 7+1-2=6}\). Stąd i z zasady mnożenia dostajemy \(\displaystyle{ 6! \cdot 5 \cdot 6}\) ośmioliterowych wyrazów, w których M nie sąsiaduje ze sobą i T nie sąsiaduje ze sobą.
Tak samo robimy z A tylko, że dwa razy.

sachkan · Post autor: **sachkan** » 5 lut 2011, o 20:18

Wszystko jasne.

Dzięki wielkie. Pozdrawiam