Na ile sposobów?

mmariusz · Post autor: **mmariusz** » 27 sty 2011, o 18:09

Na ile sposobów można rozmieścić K kul (\(\displaystyle{ k \ge 4}\), kazda kula innego koloru) w k ponumerowanych
pudełkach tak aby :
a) żadne pudełko nie było puste
b) dokladnie jedno pudelko było puste
c)dokładnie \(\displaystyle{ k -2}\) pudełka były puste

pyzol · Post autor: **pyzol** » 27 sty 2011, o 18:17

Pierwsze jest dość łatwe masz k pudełek i k kul, więc po jednej kuli do pudełka.
Ustawmy teraz te kule w szeregu, ta która znajdzie się na pierwszym miejscu idzie do pierwszego itd.
Ile jest możliwości ustawienia kul?

mmariusz · Post autor: **mmariusz** » 27 sty 2011, o 18:26

czyżby k! ?

pyzol · Post autor: **pyzol** » 27 sty 2011, o 18:54

tak, tak, co do b) to chwilka, bo jest kilka możliwości, modelów, a najlepiej podać ten najłatwiejszy do zrozumienia.-- 27 sty 2011, o 18:59 --To może tak.
I Wybieramy dwie kule, które skleimy ze sobą (w jednym pudełku będą dwie kule). Ile sposobów?
II Wyrzucamy jedno pudełko. Ile sposobów?
III Mamy teraz k-1 pudełek k-1 kul (jedna podwójna) Ile sposobów?

mmariusz · Post autor: **mmariusz** » 27 sty 2011, o 19:06

I.

\(\displaystyle{ {k \choose 2} \cdot k-1!}\) ?
Nie jestem za dobry w te klocki wiec prosiłbym wytlumaczenie

pyzol · Post autor: **pyzol** » 27 sty 2011, o 19:17

I dwie spośród k więc \(\displaystyle{ {k \choose 2}}\)
II k jeden spośród k
III (k-1)!
Teraz należy wszystko przemnożyć.

mmariusz · Post autor: **mmariusz** » 27 sty 2011, o 19:28

\(\displaystyle{ {k \choose 2} \cdot (k-1)! \cdot k=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{k\cdot (k - 1) \cdot k!}{2}}\)
i to by kończyło podpunkt b)?-- 27 sty 2011, o 21:38 --ponawiam...

pyzol · Post autor: **pyzol** » 27 sty 2011, o 20:42

tak
na dzisiaj chyba kończę z forum, także c) raczej nie zrobię,

mmariusz · Post autor: **mmariusz** » 27 sty 2011, o 20:57

może ktoś jeszcze zechce pomoc?

pyzol · Post autor: **pyzol** » 27 sty 2011, o 22:03

c) wybierasz 2 pudełka do zapakowania.
Każdej kuli przyporządkujesz teraz numer 1 lub 2 (do pierwszego lub do drugiego) więc \(\displaystyle{ 2^k}\)
sposobów przy czym 2 musimy wyrzucić to możliwość gdy wszystkie bedą miały 1, lub wszystkie będą miał nr 2.
\(\displaystyle{ (2^k-2)\cdot {k \choose 2}}\)