Podzbiory zbioru n-elementowego

[Glo]

Ile k-elementowych ciągów niemalejących da się utworzyć z elementów zbioru n-elementowego?

Niby jest w forumowym "Zbiorze zadań" ale w temacie nic konkretnego nie znalazłem.

Ja rozumuję tak.
k-elementowych ciągów ogólnie mamy \(\displaystyle{ V^k_n=\frac{n!}{(n-k)!}\)
Załóżmy więc n=6 i k=3.
Dla każdej trójki będziemy mieli 6 różnych wariacji, np. dla elementów 1,2,3:
123
132
312
321
213
231
Spośród których tylko jedna jest malejąca (321), reszta albo rosnąca albo anie rosnąca ani malejąca.
Tak więc mamy tyle ciągów malejących, ile takich trójek (spośród wariacji danej trójki elementów tylko jedna jest taka, że kolejne elementy ułożą się w ciąg malejący). Stąd wniosek, że ciągów malejących będziemy mieli \(\displaystyle{ C^k_n=\frac{n!}{k!(n-k)!}}\), tj. ciągów niemalejących mamy
\(\displaystyle{ V^k_n-C^k_n}\), bo od ilości wariacji z danych k elementów odejmujemy tą jedną, która ułoży się w ciąg malejący.

Dobrze mówię?:)

[schloss]

zgadzam się

[mat_61]

Zauważ, że w zadaniu nie ma nic o tym, że te k-elementowe ciągi są różnowartościowe.

Należy więc kombinacje odjąć od wariacji z powtórzeniami.