Korzystając ze znanych faktów z analizy matematycznej wykazać, że funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ g_{k}}\), gdzie
\(\displaystyle{ g_{k}= \frac{(-1)^{k+1}}{k}}\) dla \(\displaystyle{ k \in N}\) i \(\displaystyle{ g_{0}=0}\)
jest \(\displaystyle{ G(z)=ln(1+z)}\). Na tej podstawie znaleźć zwartą postać funkcji tworzącej dla ciągów
\(\displaystyle{ a)
a_{k}=\frac{(-1)^{k}}{k+1}}\) dla \(\displaystyle{ k \in N^{*}}\)
\(\displaystyle{ b)
b_{k}=\frac{1}{k+1}}\) dla \(\displaystyle{ k \in N^{*}}\)
Edit po 2 godzinach:
Wymyśliłem tyle:
Weźmy pod uwagę Funkcję Tworzącą dla ciągu \(\displaystyle{ (1,1,1,...)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k \ge 0}^{} z^{k} = \frac{1}{1-z}}\)
Stąd łatwo zauważyć, że dla ciągu \(\displaystyle{ (1,-1,1,-1,...)}\)
Mamy
\(\displaystyle{ \sum_{k \ge 0}^{} (-1)^{k} z^{k} =\sum_{k \ge 0}^{} (-z)^{k}= \frac{1}{1+z}}\)
I teraz zupełny freestyle
Scałkujmy stronami coś podobnego do ostatniej równości
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sum_{k \ge 0}^{} (-z)^{k-1}dz= \int_{}^{} \frac{1}{1+z}dz}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k \ge 0}^{} \frac{-(-z)^{k}}{k} = ln(1+z)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k \ge 0}^{} \frac{(-1)^{k+1}}{k} z^{k} = ln(1+z)}\) czy taki dowód jest poprawny? Jak ewentualnie go ulepszyć?
W przypadkach \(\displaystyle{ a)}\) i \(\displaystyle{ b)}\) mogę całkować podobnie ale dostanę \(\displaystyle{ \frac{(-1)^{k}}{k+1}z^{k+1}=costam}\) i co wtedy z tym \(\displaystyle{ z^{k+1}}\) zrobić?
Edit2: Podzielić obie strony po prostu przez \(\displaystyle{ z}\) i koniec?