Zadanie z nierównością

allexx · Post autor: **allexx** » 8 gru 2006, o 16:49

Witam,
Chcę bardzo poprosić o pomoc w rozwiązaniu tego zadania, które dostałam na sprawdzianie i niestety nie potrafiłam do zrobić:

"Udowodnij, że istnieje takie n≥4, że \(\displaystyle{ {n+2\choose 2}}\)

d(-_-)b · Post autor: **d(-_-)b** » 8 gru 2006, o 16:58

\(\displaystyle{ {n+2\choose 2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}}\), czyli

\(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\)

allexx · Post autor: **allexx** » 8 gru 2006, o 17:18

Nie bardzo rozumiem jak z \(\displaystyle{ {n+2\choose 2}}\) przejść do \(\displaystyle{ \frac{(n+1)(n+2)}{2}}\). Czy zastosowałeś tu jakoś wzór na symbol Newtona?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 8 gru 2006, o 17:29

\(\displaystyle{ {n+2\choose 2}=\frac{(n+2)!}{2!(n+2-2)!}=\frac{(n+2)!}{2n!}=\frac{n!(n+1)(n+2)}{2n!}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}}\)

allexx · Post autor: **allexx** » 8 gru 2006, o 18:01

Bardzo dziękuję, ale ciągle się gubię w rozszerzaniu. Mam pytanie odnośnie liczników. Jak z \(\displaystyle{ {(n+2)!}}\) powstało \(\displaystyle{ {n!(n+1)(n+2)}}\)?

yorgin · Post autor: **yorgin** » 8 gru 2006, o 18:09

Definicja rekurencyjna silni:
\(\displaystyle{ n!=\left\{\begin{array}{l} 1,\; gdy\; n=0,1\\ (n-1)!n,\; gdy\; n\geq 2 \end{array}}\)
Na tej podstawie mamy:\(\displaystyle{ (n+2)!=(n+2-1)!(n+2)=(n+1)!(n+2)=(n+1-1)!(n+1)(n+2)=n!(n+1)(n+2)}\)

allexx · Post autor: **allexx** » 8 gru 2006, o 18:24

Bardzo dziękuję za pomoc, teraz rozumiem