1. Znajdz piaty wyraz rozwiniecia dwumianu
\(\displaystyle{ (\frac{a}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{a})^{n}}\)
jezeli stosunek wspolczynnika wyrazu trzeciego do wspolczynnika wyrazu drugiego jest rowny \(\displaystyle{ \frac{11}{2}}\).
2. Znajdz wyraz wolny rozwiniecia
\(\displaystyle{ (\sqrt[4]{a}+\frac{1}{a})^{15}}\)
Co to jest wyraz wolny rozwiniecia?
3. W rozwinieciu dwumianow znajdz wyraz podobny do \(\displaystyle{ x^{2}}\).
a)\(\displaystyle{ (\sqrt[3]{x}+3\sqrt[4]{x})^{7}}\)
4. Wyznacz sume trzeciego i czwartego wyrazu rozwiniecia potegi:
\(\displaystyle{ (a\sqrt{a}+3\sqrt{a})^{13}}\)
Trzecim wyrazem bedzie\(\displaystyle{ {13\choose 2}}\)? A czwartym \(\displaystyle{ {13\choose 3}}\)?
4 zadania z dwumianem
-
Lorek
- Użytkownik
- Posty: 7150
- Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ruda Śląska
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1322 razy
4 zadania z dwumianem
1.
\(\displaystyle{ \frac{{n\choose 2}}{{n\choose 1}}=\frac{11}{2}\\\frac{n(n-1)}{2n}=\frac{11}{2}\\n=12}\)
czyli 5 wyraz to
\(\displaystyle{ {12\choose 4}\cdot (\frac{a}{\sqrt{x}})^8\cdot (\frac{\sqrt{x}}{a})^4=495\frac{a^4}{x^2}}\)
2. Wyraz wolny, to ten, przy którym nie ma zmiennej, czyli w tym wypadku muisz znaleźć takie k, aby
\(\displaystyle{ {15\choose k}\cdot (\sqrt[4]{a})^{15-k}\cdot (\frac{1}{a})^k=c}\)
(c - pewna liczba rzeczywista)
sprowadza się to do rozwiązania równania
\(\displaystyle{ \frac{15-k}{4}-k=0}\)
stąd \(\displaystyle{ k=3}\) a wyraz wolny \(\displaystyle{ {15\choose 3}=455}\)
[ Dodano: Pią Gru 08, 2006 3:29 pm ]
3. Podobnie jak w 2
\(\displaystyle{ {7\choose k}(\sqrt[3]{x})^{7-k}\cdot (3\sqrt[4]{x})^k=cx^2\\\frac{7-k}{3}+\frac{k}{4}=2\\k=4\\{7\choose 4}\cdot x 81x=2835x^2}\)
4. trzeci wyraz to
\(\displaystyle{ {13\choose 2}(a\sqrt{a})^{11}\cdot (3\sqrt{a})^2}\)
a czwarty
\(\displaystyle{ {13\choose 3}(a\sqrt{a})^{10}\cdot (3\sqrt{a})^3}\)
\(\displaystyle{ \frac{{n\choose 2}}{{n\choose 1}}=\frac{11}{2}\\\frac{n(n-1)}{2n}=\frac{11}{2}\\n=12}\)
czyli 5 wyraz to
\(\displaystyle{ {12\choose 4}\cdot (\frac{a}{\sqrt{x}})^8\cdot (\frac{\sqrt{x}}{a})^4=495\frac{a^4}{x^2}}\)
2. Wyraz wolny, to ten, przy którym nie ma zmiennej, czyli w tym wypadku muisz znaleźć takie k, aby
\(\displaystyle{ {15\choose k}\cdot (\sqrt[4]{a})^{15-k}\cdot (\frac{1}{a})^k=c}\)
(c - pewna liczba rzeczywista)
sprowadza się to do rozwiązania równania
\(\displaystyle{ \frac{15-k}{4}-k=0}\)
stąd \(\displaystyle{ k=3}\) a wyraz wolny \(\displaystyle{ {15\choose 3}=455}\)
[ Dodano: Pią Gru 08, 2006 3:29 pm ]
3. Podobnie jak w 2
\(\displaystyle{ {7\choose k}(\sqrt[3]{x})^{7-k}\cdot (3\sqrt[4]{x})^k=cx^2\\\frac{7-k}{3}+\frac{k}{4}=2\\k=4\\{7\choose 4}\cdot x 81x=2835x^2}\)
4. trzeci wyraz to
\(\displaystyle{ {13\choose 2}(a\sqrt{a})^{11}\cdot (3\sqrt{a})^2}\)
a czwarty
\(\displaystyle{ {13\choose 3}(a\sqrt{a})^{10}\cdot (3\sqrt{a})^3}\)
-
fryxjer
- Użytkownik
- Posty: 226
- Rejestracja: 27 lis 2006, o 22:02
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Raciborz
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 23 razy
4 zadania z dwumianem
Okej, dzieki za rozwiazania. Jeszcze mam maly problem z jednym:
W wyrazeniu \(\displaystyle{ (a+a^{2})^{50}}\) wykonano potegowanie i przeprowadzono redukcje. Napisz wyraz w ktorym wystepuje a^{70}. Rozwiazalem to tak:
\(\displaystyle{ {50 \choose k}a^{50-k}(a^{2})^{k}={50 \choose k}a^{50-k}a{2k}={50 \choose k}a^{50+k}}\)
czyli k=20
\(\displaystyle{ {50 \choose 20}a^{50-20}(a^{2})^{20}={50 \choose 20}a^{30}a^{40}={50 \choose 20}a^{70}}\)
Takie rozwiazanie moze byc?
[ Dodano: 9 Grudzień 2006, 17:02 ]
Jeszcze jedno, srodkowym wyrazem rozwiniecia takiego dwumianu:
\(\displaystyle{ (\frac{a}{x}-\sqrt{x})^{16}}\) bedzie wyraz 9 czy 8?
W wyrazeniu \(\displaystyle{ (a+a^{2})^{50}}\) wykonano potegowanie i przeprowadzono redukcje. Napisz wyraz w ktorym wystepuje a^{70}. Rozwiazalem to tak:
\(\displaystyle{ {50 \choose k}a^{50-k}(a^{2})^{k}={50 \choose k}a^{50-k}a{2k}={50 \choose k}a^{50+k}}\)
czyli k=20
\(\displaystyle{ {50 \choose 20}a^{50-20}(a^{2})^{20}={50 \choose 20}a^{30}a^{40}={50 \choose 20}a^{70}}\)
Takie rozwiazanie moze byc?
[ Dodano: 9 Grudzień 2006, 17:02 ]
Jeszcze jedno, srodkowym wyrazem rozwiniecia takiego dwumianu:
\(\displaystyle{ (\frac{a}{x}-\sqrt{x})^{16}}\) bedzie wyraz 9 czy 8?