\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \frac{1}{k+1} {n \choose k}= \frac{1}{n+1}}\)
Muszę pokazać, równość tutaj. korzystam z własności \(\displaystyle{ \frac{n+1}{k+1} {n \choose k} ={n+1 \choose k+1}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \frac {n+1}{k+1} \frac{1}{n+1} {n \choose k}= \sum_{k=0}^{n}
(-1)^{k} {n+1 \choose k+1}\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k}{n+1 \choose k+1}=}\)// a to w sumie zeruje się wszystko oprócz zerowego wyrazu, równego 1// \(\displaystyle{ = \frac{1}{n+1}}\)
Czy dobrze myślę?