Funkcja tworząca ciągu.

[zacchu]

\(\displaystyle{ a_{n}=n 2^{n-1} .

A(x)= \sum_{n=0}^{ \infty } n 2^{n-1} x^{n}= x\sum_{n=0}^{ \infty }nx ^{n-1}2 ^{n-1}= x \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{d}{dx} (x ^{n}) \frac{1}{2} 2 ^{n}= \frac{1}{2} x \frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{ \infty }(2x) ^{n}= \frac{x}{2} \frac{d}{dx} \frac{1}{1-2x}= \frac{x}{2}ln(\left| 1-2x\right|)}\)

Czy jest dobrze?

[Crizz]

Pochodna jest źle policzona.

Ogólnie warto zapamiętać wzór: jeśli funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ a_n}\) jest \(\displaystyle{ A(x)}\), to funkcją tworzącą ciągu \(\displaystyle{ na_n}\) jest \(\displaystyle{ x \cdot A^\prime(x)}\).

[zacchu]

chodzi o przejście ostatnie z pochodną, prawda? właśnie też sam zauważyłem błąd. powinno być
\(\displaystyle{ = x \frac{1}{(1-2x) ^{2}}}\)?

[Crizz]

Tak.