Rekurencja 1 rzędu

[spinaczo]

Witam!

Rozwiązać rekurencję:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{0}=4 \\ a_{n}=2 a_{n-1} + \frac{ 2^{n} }{n+1} \end{cases}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\)

Pewnie to jest banalne ale sprawia mi problem znalezienie ciągu \(\displaystyle{ t_{n}}\) , aby móc zapisać \(\displaystyle{ a_{n}=A*2^{n}+t_{n}}\) , proszę o podpowiedź dalej sobie poradzę i napiszę rozwiązanie dla potomności.

[arek1357]

Oki poprawimy:
coś tamto nie działa

\(\displaystyle{ a_{n}=2a{n-1}+ \frac{2^{n}}{n+1}/*s_{n}}\)

gdzie

\(\displaystyle{ s_{n}= \frac{1}{2}S_{n-1}}\)

\(\displaystyle{ a_{n}s_{n}=a{n-1}s_{n}+ \frac{2^{n-1}}{n+1}s_{n-1}}\)

\(\displaystyle{ U_{n}=a_{n}s_{n}}\)

czyli:

\(\displaystyle{ U_{n}=U_{n-1}+ \frac{2^{n-1}}{n+1}s_{n-1}}\)

Z tego:

\(\displaystyle{ U_{n}= U_{0}+ \sum_{k-1}^{n}\frac{2^{k-1}}{k+1}s_{k-1}}\)

\(\displaystyle{ U_{0}=4, s_{n}= \frac{1}{2^{n}}}\)

za s0 przyjmuje 1

czyli ponieważ:

\(\displaystyle{ U_{n}=a_{n}s_{n}=a_{n}* \frac{1}{2^{n}}}\)

Po skróceniu :

\(\displaystyle{ a_{n}=2^{n}(4+ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+1} )}\)

Hmmm nie wiem czemu tamta wersja nie działała

[Qń]

Powyższe rozwiązanie oczywiście jest błędne - wystarczy już do pierwszej równości wstawić \(\displaystyle{ n=1}\), by przekonać się, że jest fałszywa.

Edit: mimo poprawki w dalszym ciągu powyższe rozwiązanie jest błędne. Tym razem błąd jest w niejasnym określeniu czym jest \(\displaystyle{ U_n}\) - podane są dwa różne wzory.

Oznaczmy sobie \(\displaystyle{ H_n= 1+\frac 12 +\frac 13 + \ldots + \frac 1n}\).

Można pokazać indukcyjnie, że rozwiązaniem równania jest \(\displaystyle{ a_n=2^n \cdot \left( 3+H_{n+1}\right)}\). By dojść do tego wyniku wystarczy podzielić wyjściową rekurencję przez \(\displaystyle{ 2^n}\), podstawić \(\displaystyle{ b_n=\frac{a_n}{2^n}}\) i rozwinąć równanie z \(\displaystyle{ b_n}\).



Q.

[spinaczo]

Można pokazać indukcyjnie, że rozwiązaniem równania jest \(\displaystyle{ a_n=2^n \cdot \left( 3+H_{n+1}\right)}\).

Q.

Chyba literówka bo wg mnie \(\displaystyle{ a_n=2^n \cdot \left( 4+H_{n+1}\right)}\).

No dobrze, uniezależniliśmy wynik od poprzednich wyrazów ale nadal występuje w nim brzydka suma. Stąd pytanie czy jest możliwość podania wyrazu \(\displaystyle{ a_{n}}\) w ładniejszej postaci? W której tylko podstawiamy pod \(\displaystyle{ n}\) i mamy wynik?

[Qń]

wg mnie \(\displaystyle{ a_n=2^n \cdot \left( 4+H_{n+1}\right)}\).

Upierałbym się przy swojej wersji. Sprawdź dla \(\displaystyle{ n=0,1,2}\).

A ładniejszej postaci nie ma.

Q.

[spinaczo]

Ok. Sprawdziłem Twoja wersja jest poprawna. W takim razie nadal nie wiem skąd wynika

Lecimy:

\(\displaystyle{ a_{n}=2 a_{n-1}+ \frac{2^n}{n+1}}\) dzielimy stąd
\(\displaystyle{ \frac{a_{n}}{2^n} = \frac{2 a_{n-1}}{2^n} + \frac{1}{n+1}}\).

Podstawiamy \(\displaystyle{ b _{n}= \frac{a_{n}}{2^n}}\) stąd otrzymujemy

\(\displaystyle{ b_{n}=b_{n-1}+ \frac{1}{n+1}}\)

teraz biorę się za przeróbkę i próbę dojścia rozwiązania:

\(\displaystyle{ b_{n}=b_{n-1}+ \frac{1}{n+1}=b_{n-2}+\frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1}=b_{n-3}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+ \frac{1}{n+1}=...=b_{0}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3} +...+ \frac{1}{n+1} =b_{0}+ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1}}\)

Z tego rozumowania wynikła mi błędna "4".... zatem nadal zagadka

[Qń]

Jest ok:
\(\displaystyle{ b_{0}+ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1}= 4 + \frac 12 + \frac 13 + \ldots + \frac {1}{n+1}=\\
3+1 + \frac 12 + \frac 13 + \ldots + \frac {1}{n+1}=3+ H_{n+1}}\)

Q.

[spinaczo]

Podsumowując zadnie jest proste, niekoniecznie łatwe. Dziękuję za podpowiedzi!