rownanie rekurencyje wzor jawny

[marcyk00]

witam . jak rozwiazac te zadanie wiem ze mozna rownaniem charakterystycznym ale w tym przypadku nie wiem jak go uzyc
a)
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} s_0 = 10,\\s_1 = 4,\\s_n = 5s_{n \ -1} + 6s_{n \ -2} \ - 10n\ - 13, n > 1 \end{array}}\)
b)
\(\displaystyle{ \begin{cases} t_0 = 3,\\3t_n = nt_{n \ -1} \ + 2n! , \ n \geqslant 1.\end{cases}}\)

i drugie zadanie
Wyznacz funkcje tworzaca liczby słów długosci n ułozonych z liter A, B, C,
D, w których litera A wystepuje co najmniej dwa razy, litera B wystepuje
parzysta liczbe razy, a litera C
wystepuje nieparzysta liczbe razy.

z gory dziekuje za pomoc

[lavena]

drugie zadanie:

\(\displaystyle{ f(x)=(x^2+x^3+x^4...)(1+x^2+x^4+...)(x^1+x^3+x^5...)(1+x+x^2+...)}\)

Można to zwinąć w iloczyn sum nieskończonych ciągów geometrycznych. Szukamy coeff\(\displaystyle{ (x^n)}\)

[marcyk00]

a mozesz to bardziej rozwinac . jak i skad sie wzielo to wszystko?

[lavena]

Na samym początku przyznaję się do błędu. Funkcja powinna wyglądać tak:
\(\displaystyle{ f(x)=( \frac{x^2}{2!}+ \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} +...)( \frac{x^0}{0!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}+ ...)( \frac{x^1}{1!}+ \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^5}{5!}+... )( \frac{x^0}{0!} +\frac{x^1}{1!}+ \frac{x^2}{2!}+... )}\)
(Korzystamy z wykładniczej funckji tworzącej postaci \(\displaystyle{ f(x)= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{a _{k} }{k!}x ^{k}}\)
Pierwszy nawias reprezentuje liczbę wyborów litery A, drugi litery B itd.

Np. jeśli wybierzemy 3 razy literę A, 2 razy literę B, 1 raz literę C i 4 razy D (założenie *) , to mamy:
\(\displaystyle{ f(x)= \frac{x^3}{3!} \cdot \frac{x^2}{2!} \cdot \frac{x^1}{1!} \cdot \frac{x^4}{4!}= \frac{x ^{10} }{3!2!1!4!}}\)
Jeden taki wybór daje \(\displaystyle{ \frac{10!}{3!2!1!4!}}\) wariacji (wzór na permutacje z powtórzeniami).
Zatem
\(\displaystyle{ \frac{a _{10} }{10!}= \frac{1}{3!2!1!4!}}\), gdzie \(\displaystyle{ a_{10}}\) jest liczbą 10-elementowych wariacji z powtórzeniami przy założeniu * .

Poprzedni post zawierał funkcję tworzącą, której używalibyśmy, gdybyśmy mieli do czynienia z kombinacjami.

[marcyk00]

na pewno tak ?? a to dobrze jest ?? A=(0,0,1,1,1....) i z tego chyba cos takiego wyjdzie \(\displaystyle{ x^2+x^3.....}\) czyli \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1-x}}\) albo \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^2}{x^2-x^3}}\)
B=(1,0,1,0,1...) \(\displaystyle{ 1+x^2+x^4....}\) czyli \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1-x^2}}\)
C=(0,1,0,1....) \(\displaystyle{ x+x^3+....}\) czyli \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{x-x^3}}\) albo \(\displaystyle{ f(x)=\frac{x}{x-x^3}}\)
D=(1,1,1,1,1....) \(\displaystyle{ 1+x+x^2+x^3....}\) czyli \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{1-x}}\)
(A za zerowym razem jest 0 za pierwszym razem 0 za drugim razem moze byc 1 za 3 razem tez 1 itd. podobnie z B i C i D z tym ze B musi wystapic parzysta liczbe razi C nieparzysta D reszta) nie jestem pewien czy te wzory f(x) dobrze popisalem. pozostaje jeszcze to polaczyc jakos i nie wiem czy f(x) pododawac do siebie czy wymnozyc.
moze gdzies sie pomylilem jak tak to prosze po poprawienie....

[lavena]

Szczerze mówiąc, Twój post jest dla mnie niezrozumiały. Albo to jest źle, albo nie wiem o co chodzi.

Funkcję, którą podałam można zwijać, korzystając ze wzoru:

\(\displaystyle{ e ^{x}= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{x ^{k} }{k!}}\)

[arek1357]

Heh z tym zadaniem b) to już jakaś plaga tutaj chyba 10 czy więcej osoba to samo zadanie daje ,
chyba na uczelniach jest ono bardzo popularne