Oblicz n

[elo111]

Różnica między \(\displaystyle{ {n \choose 3}}\) a \(\displaystyle{ {n \choose 2}}\) wynosi 5. Oblicz n.

[lukasz1804]

Z założenia mamy \(\displaystyle{ |{n\choose 3}-{n\choose 2}|=5}\). Stąd wobec definicji symbolu Newtona jest \(\displaystyle{ 5=|\frac{n!}{6(n-3)!}-\frac{n!}{2(n-2)!}|=\frac{n!}{6(n-3)!}|1-\frac{3}{n-2}|=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}|\frac{n-5}{n-2}|}\).
Wystarczy teraz (rozważając osobno przypadki \(\displaystyle{ n=3, n=4, n\ge 5}\)) sprawdzić, czy zachodzi równość (w przypadku \(\displaystyle{ n\ge 5}\) rozwiązać równanie wymierne).

[elo111]

Dzięki

A skąd wyszło tam \(\displaystyle{ \frac{n-5}{n-2}}\) przecież \(\displaystyle{ n-2-n-2}\) to jest \(\displaystyle{ -4}\)
chodzi o ten fragment
\(\displaystyle{ \frac{n-2}{n-2} - \frac{3}{n-2}}\)

[lukasz1804]

Odejmując ułamki o jednakowych mianownikach odejmujemy tylko liczniki, a mianownik pozostawiamy bez zmian.

[elo111]

A no tak zapomniałem