Podaj w postaci zwartej funkcję tworzącą dla ciągu

[gosc]

Zadanie
Podaj w postaci zwartej funkcję tworzącą dla ciągu: {1; 0; 2; 0; 3; 0;…}

Rozwiązanie

Szukana funkcja tworząca jest postaci:

\(\displaystyle{ A(x)=1+2x^{2}+3x^{4}+...}\)

W celu znalezienia postaci zwartej wykorzystujemy wzór:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x) ^{m+1}}= \sum_{n=0}^{niesk} {m+n \choose n} x^{n}}\)

skąd wynika, że dla m = 1:


\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-x) ^{2}}= \sum_{n=0}^{niesk} {n+1 \choose n} x^{n}= \sum_{n=0}^{niesk}(n+1)x^{n}}\)

tj:

\(\displaystyle{ {\frac{1}{(1-x) ^{2}}=1+2x+3x^{2}+4x^{3}+...}\)

czyli, że funkcją tworzącą ciągu an = n, tj ciągu {1, 2, 3…} jest \(\displaystyle{ {\frac{1}{(1-x) ^{2}}}\). Zauważmy, że zastępując x przez x'kwadrat' dostaniemy:

\(\displaystyle{ {\frac{1}{(1-x^{2}) ^{2}}=1+2x^{2}+3x^{4}+...}\)

z czego wynika, że szukaną funkcją tworzącą zapisaną w zwartej postaci jest:

\(\displaystyle{ A(x)={\frac{1}{(1-x^{2}) ^{2}}}\)



Proszę o pomoc w znalezieniu odpowiedzi na pytanie:

Dlaczego można za x podstawić x kwadrat ? i to dalej jest funkcja
tworząca.
i Pan Profesor napisał na kartce coś takiego:

\(\displaystyle{ A(x) ; x \leftarrow y; A(y) x \leftarrow y}\)

(dlaczego za x cokolwiek mozna podstawić i ta funkcja "przejdzie" .)

Mam to uzasadnić – nie wiem to jakieś twierdzenie jest czy cos bo nic nie znalazłem do tej pory :/??

[Crizz]

Odpowiedź na Twoje pytanie nie ma nic wspólnego z funkcjami tworzącymi, to zwykłe algebraiczne przekształcenie. Pokazane zostało, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ t\neq 1}\) prawdziwe jest:
\(\displaystyle{ {\frac{1}{(1-t) ^{2}}=1+2t+3t^{2}+4t^{3}+...}\)
I jeśli \(\displaystyle{ t}\) "będzie wygladać" jak \(\displaystyle{ x^{2}}\) (podstawimy \(\displaystyle{ t=x^{2}}\)), to będzie zachodzić:
\(\displaystyle{ {\frac{1}{(1-x^{2}) ^{2}}=1+2x^{2}+3x^{4}+4x^{6}+...}\)

[gosc]

czyli -

za t tak naprawdę mogę podstawić dowolną wartość, jeśli napiszę, że t = to co chcę podstawić.

czy dobrze zrozumiałem, bo to w sumie za proste było by ? ?

[Crizz]

Dobrze zrozumiałeś.