Równe współczynniki

help_me;) · Post autor: **help_me;)** » 4 gru 2006, o 19:38

W rozwinięciu dwumianu \(\displaystyle{ (1+x)^{n}}\) współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{4}}\) jest równy współczynnikowi przy\(\displaystyle{ x^{8}}\). Oblicz n.

Lorek · Post autor: **Lorek** » 4 gru 2006, o 20:53

Jak to rozpiszesz z dwumianu Newtona, to otrzymasz
\(\displaystyle{ (1+x)^n=...+{n\choose 4}x^4+...+{n\choose 8}x^8+...}\)
czyli mamy równanie
\(\displaystyle{ {n\choose 4}={n\choose 8}\\n=12}\)

help_me;) · Post autor: **help_me;)** » 4 gru 2006, o 22:33

Skąd Ci wyszlo 12...? Rozpisałes to normalnie tak jak sie rozpisuje...? Bo u mnie po skroceniu wychodza potego czwartego stopnia i w ogole kosmiczne liczby..;P ;/

Lorek · Post autor: **Lorek** » 4 gru 2006, o 22:36

Wychodzi cos takiego
\(\displaystyle{ 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8=(n-7)(n-6)(n-5)(n-4)}\)
i tego nie rozpisujesz, bo to za długie , ale zauważasz, że n jest naturalne, a po lewej i po prawej czynniki są ustawione rosnąco, czyli masz n-7=5 itp.

d(-_-)b · Post autor: **d(-_-)b** » 4 gru 2006, o 22:42

\(\displaystyle{ \frac{n!}{4!*(n-4)!}=\frac{n!}{8!*(n-8)!}}\)

czyli

\(\displaystyle{ (n-8)!=4!}\)
i
\(\displaystyle{ (n-4)!=8!}\)

można tak sobie pójść na skróty

poza tym to od razu widać że to bedzie 12