Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 ustawiamy w ciąg

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
paulaa1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 14 gru 2010, o 17:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: krk
Podziękował: 15 razy

Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 ustawiamy w ciąg

Post autor: paulaa1992 »

Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 ustawiamy losowo w ciąg. Ile jest możliwych ustawień, w których na początku lub na końcu stoi 1, odległość zaś pomiędzy 1 i 4 jest mniejsza niż odległość pomiędzy 1 i 6?
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 ustawiamy w ciąg

Post autor: pyzol »

Dajemy jeden na przód:
\(\displaystyle{ 1,\ldots,\ldots,\ldots,\ldots,\ldots}\)
Załóżmy że 4 będzie na drugim miejscu:
\(\displaystyle{ 1,4,\ldots,\ldots,\ldots,\ldots}\)
6 może wtedy pojawić się na 4,5,6 miejscu. 3 możliwości, pozostałe liczby rozmieszczamy dowolnie.
Więc 3!. Razem:
\(\displaystyle{ 3\cdot 3!}\)
Teraz 4 na trzecim miejscu:
6 może być tylko na ostatnim miejscu. Możliwości 3!.
Razem:
\(\displaystyle{ 3!+3\cdot 3!=24}\)
Jak damy jedynkę na koniec, to zadanie takie same. Wszystkich wyników jest 48.
paulaa1992
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 70
Rejestracja: 14 gru 2010, o 17:58
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: krk
Podziękował: 15 razy

Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 ustawiamy w ciąg

Post autor: paulaa1992 »

hmm niestety, w odpowiedziach jest inny wynik: 120
Awatar użytkownika
pyzol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4346
Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowa Ruda
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 929 razy

Liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 ustawiamy w ciąg

Post autor: pyzol »

Tak, zrobiłem, że odległość 1 i 4 jest mniejsza od 4 i 6.
1 stawiamy na pierwszym miejscu.
4 na drugim miejscu - 4 możliwości na 6 i 3! dla pozostałych.
4 na trzecim miejscu -3 możl. na 6 i 3! pozostałych
4 na czwartym - 2 możl. na 6 i 3! pozostałych.
4 na piątym - 1 możliwoś na 6 i 3! pozostałych.
Razem:
\(\displaystyle{ 3!(4+3+2+1)=6\cdot 10=60}\)
Kolejne 60 z jedynką na końcu.
ODPOWIEDZ