liczba permutacji wynosi tu 1, czyli \(\displaystyle{ P\limits_{1}=1}\)
oczywiste jest, że \(\displaystyle{ P\limits_{1}=1!=1}\)
wzór jest zatem prawdziwy
2 krok: \(\displaystyle{ k\in N}\)
należy wykazać, że \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k\geq1}\left[P\limits_{k}=k!\rightarrow P\limits_{k+1}=(k+1)!\right]}\)
podzielmy zatem zbiór k+1 elementowy na dwa podzbiory
mianowicie
k-elementowy
i
jednoelementowy \(\displaystyle{ \{k+1\}}\)
Z założenia mamy, że wszystkich permutacji pierwszego podzbioru jest \(\displaystyle{ P\limits_{k}=k!}\)
jeśli do każdej z takich permutacji dodamy teraz element zbioru jednoelementowego to w ten sposob otrzymamy wszystkie (k+1)-wyrazowe permutacje zbioru (k+1) elementowego, zatem wszystkich jest
\(\displaystyle{ P\limits_{k+1}=k!(k+1)=(k+1)!}\)
ostatecznie mamy, że wzór \(\displaystyle{ P\limits_{k}=k!\rightarrow P\limits_{k+1}=(k+1)!}\)
jest spełniony przez każdą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n\geq 1}\)
