trochę trudniejsze zadaanie
Korzystając z zasady indukcji matematycznej, udowodnij, ze \(\displaystyle{ P_{n}=n!}\)
jak to udowodnić?
wogóle co to jest indukcja matematyczna?
to było chyba to, że jeżeli coś tam,... to coś tam... =>
ślicznie prosze o wytłumaczenie
dziekuję pięknie
permutacje
-
- Użytkownik
- Posty: 237
- Rejestracja: 14 paź 2005, o 14:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: niedługo Warszawa ;)
- Podziękował: 143 razy
- d(-_-)b
- Użytkownik
- Posty: 210
- Rejestracja: 26 lis 2006, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Płock
- Pomógł: 98 razy
permutacje
Mamy do udowodnienia
\(\displaystyle{ P\limits_{n}=n(n-1)(n-2)*...*3*2*1=n!}\)
Dowód:
1 krok:
Sprawdźmy prawdziwość dla n=1
liczba permutacji wynosi tu 1, czyli \(\displaystyle{ P\limits_{1}=1}\)
oczywiste jest, że \(\displaystyle{ P\limits_{1}=1!=1}\)
wzór jest zatem prawdziwy
2 krok:
\(\displaystyle{ k\in N}\)
należy wykazać, że \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k\geq1}\left[P\limits_{k}=k!\rightarrow P\limits_{k+1}=(k+1)!\right]}\)
podzielmy zatem zbiór k+1 elementowy na dwa podzbiory
mianowicie
k-elementowy
i
jednoelementowy \(\displaystyle{ \{k+1\}}\)
Z założenia mamy, że wszystkich permutacji pierwszego podzbioru jest \(\displaystyle{ P\limits_{k}=k!}\)
jeśli do każdej z takich permutacji dodamy teraz element zbioru jednoelementowego to w ten sposob otrzymamy wszystkie (k+1)-wyrazowe permutacje zbioru (k+1) elementowego, zatem wszystkich jest
\(\displaystyle{ P\limits_{k+1}=k!(k+1)=(k+1)!}\)
ostatecznie mamy, że wzór \(\displaystyle{ P\limits_{k}=k!\rightarrow P\limits_{k+1}=(k+1)!}\)
jest spełniony przez każdą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n\geq 1}\)
\(\displaystyle{ P\limits_{n}=n(n-1)(n-2)*...*3*2*1=n!}\)
Dowód:
1 krok:
Sprawdźmy prawdziwość dla n=1
liczba permutacji wynosi tu 1, czyli \(\displaystyle{ P\limits_{1}=1}\)
oczywiste jest, że \(\displaystyle{ P\limits_{1}=1!=1}\)
wzór jest zatem prawdziwy
2 krok:
\(\displaystyle{ k\in N}\)
należy wykazać, że \(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{k\geq1}\left[P\limits_{k}=k!\rightarrow P\limits_{k+1}=(k+1)!\right]}\)
podzielmy zatem zbiór k+1 elementowy na dwa podzbiory
mianowicie
k-elementowy
i
jednoelementowy \(\displaystyle{ \{k+1\}}\)
Z założenia mamy, że wszystkich permutacji pierwszego podzbioru jest \(\displaystyle{ P\limits_{k}=k!}\)
jeśli do każdej z takich permutacji dodamy teraz element zbioru jednoelementowego to w ten sposob otrzymamy wszystkie (k+1)-wyrazowe permutacje zbioru (k+1) elementowego, zatem wszystkich jest
\(\displaystyle{ P\limits_{k+1}=k!(k+1)=(k+1)!}\)
ostatecznie mamy, że wzór \(\displaystyle{ P\limits_{k}=k!\rightarrow P\limits_{k+1}=(k+1)!}\)
jest spełniony przez każdą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n\geq 1}\)