Rozwiązania równań

[sachkan]

Witam,

Mam prośbę o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań:

Zadanie 1
Wyznacz liczbę nieujemnych rozwiązań całkowitoliczbowych dla równania.
\(\displaystyle{ x_{1}+ x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} = 12}\), w których \(\displaystyle{ x_{3} \vee x_{5}}\) jest równe 3

Tutaj próbowałem wykorzystać wzór na liczbę rozwiązań równania diofantycznego, ale za nic nie mogę uzyskać prawidłowego wyniku (412).

Zadanie 2
Ile jest nieujemnych i całkowitych rozwiązań nierówności:
\(\displaystyle{ x_{1}+ x_{2} + x_{3} + x_{4} \le 6}\), które spełniają warunki:

• \(\displaystyle{ x_{1} > 0}\) i \(\displaystyle{ x_{1}}\) parzyste.
  \(\displaystyle{ x_{2} \in \left\{ 0,1\right\}}\)
  \(\displaystyle{ x_{3}}\) podzielne przez 3
  \(\displaystyle{ x_{4} \le 2}\)

Tutaj problemem jest skonstruowanie odpowiedniej funkcji tworzącej.

Z góry dzięki za podpowiedzi z krótkim wytłumaczeniem dlaczego tak, a nie inaczej.

Pozdrawiam.

[arek1357]

\(\displaystyle{ x_{1}=2,4,6}\)

\(\displaystyle{ x_{2}=0,1}\)

\(\displaystyle{ x_{3}=0,3,6}\)

\(\displaystyle{ x_{4}=0,1,2}\)

funkcja tworząca:

\(\displaystyle{ (x^{2}+x^{4}+x^{6}) (1+x) (1+x^{3}+x^{6})(1+x+x^{2})}\)

rozwiązanie to współczynnik stojący przy x^6

-- 8 stycznia 2011, 00:49 --

Pierwsze sobie rozpisz na 3 równania:

i oblicz liczbę rozwiązań każdego z nich i dodaj

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{4}+x_{5}=9}\)

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=9}\)

\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{4}=6}\)-- 8 stycznia 2011, 00:50 --Oczywiście pierwsze i drugie mają tyle samo rozwiązań

[sachkan]

Dzięki wielkie za pomoc, jeden głupi błąd w drugim przy \(\displaystyle{ x_{3}}\) pominąłem 0 Czasu straconego na wymnażaniu i sprawdzaniu, gdzie się walnąłem nie zwróci nikt

Co do rozwiązania drugiego, to będzie nim suma współczynników stojących przy potęgach \(\displaystyle{ \le 6}\), bo tam nierówność była, ale to szczegół


-- 8 sty 2011, o 02:27 --

Co do pierwszego wydaje mi się, że trzeba zsumować ilości rozwiązać dwóch pierwszych równań, a potem odjąć ilość rozwiązań, która wychodzi z ostatniego równania, bo to są przypadki, gdy \(\displaystyle{ x_{3} \wedge x_{5} = 0}\), więc końcowy wynik będzie \(\displaystyle{ {12 \choose 9} *2 - {8 \choose 6}}\), czyli 412, mylę się?


Pozdrawiam.

[arek1357]

A mi się wydaje że trzeba dodać ilości rozwiązań tych trzech równań niezależnie i już nic nie kombinować