Wyznacz n i k dwóch zbiorów o różnej liczbie permutacji

secesjonista · Post autor: **secesjonista** » 4 sty 2011, o 19:05

Liczba permutacji zbioru n-elementowego jest dziesięć razy większa od liczby permutacji k-elementowego.
Wyznacz "n" i "k".
Jak to zacząć?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 4 sty 2011, o 19:38

\(\displaystyle{ n!=10k!}\)

secesjonista · Post autor: **secesjonista** » 4 sty 2011, o 19:48

To ja rozumiem, tylko nie wiem jak dalej to rozbić, czy trzeba coś wyłączyć przed nawias?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 4 sty 2011, o 19:59

Wskazówka:

Skoro silnia oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych począwszy od 1 to zastanów się iloraz jakich dwóch silni może być równy 10?

\(\displaystyle{ \frac{n!}{k!} =10}\)

\(\displaystyle{ \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k}=10}\)

secesjonista · Post autor: **secesjonista** » 4 sty 2011, o 20:43

Tylko co z takim tworem dalej czynić?
Próbowałem:
\(\displaystyle{ \frac{1\cdot\ 2... n}{1\cdot\ 2... k}}\)= \(\displaystyle{ \frac{362880}{362880}}\)
ale to nic mi nie daje.

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 4 sty 2011, o 22:15

Skąd wziąłeś takie coś

Zauważ, że \(\displaystyle{ n}\) musi być większe niż \(\displaystyle{ k}\).
W takiej sytuacji ułamek można skrócić przez \(\displaystyle{ k!}\), czyli przez \(\displaystyle{ 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k}\)
Wówczas w liczniku zostanie iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(\displaystyle{ k+1}\) do \(\displaystyle{ n}\) i ma on być równy 10. Zastanów się jakie to mogą być liczby (lub liczba)?
Rozłóż 10 na czynniki pierwsze i wszystko powinno być jasne.

Może łatwiej będzie Ci to wywnioskować jak zobaczysz takie działanie dla konkretnych liczb, np.:

\(\displaystyle{ \frac{8!}{6!}=\frac{6! \cdot 7 \cdot 8}{6!}=56}\)

\(\displaystyle{ \frac{12!}{11!}=\frac{11! \cdot 12}{11!}=12}\)

secesjonista · Post autor: **secesjonista** » 8 sty 2011, o 12:11

Niestety nie rozumiem, może to ktoś objaśnić krok po kroku?

mat_61 · Post autor: **mat_61** » 8 sty 2011, o 14:03

1) Skoro przy skracaniu ułamka z tymi silniami "skreślisz" cały mianownik (czyli k kolejnych wyrazów) i tyle samo wyrazów w liczniku, to w liczniku zostanie iloczyn kolejnych liczb naturalnych od \(\displaystyle{ (k+1) \ do \ n}\)

2) Skoro ten iloczyn kolejnych liczb naturalnych ma być równy 10 to jakie to mogą być liczby? Mówiąc inaczej co musi "zostać" w liczniku?

Którego z tych dwóch punktów nie rozumiesz?