Malujemy każdą z 10 kul jednym z 3 kolorów(bialy, czerwony, czarny).Ile jest takich kolorowań, w których czerwonych kulek jest maksymalnie 5 ?
Moje rozwiazania:
1.Nie wiecej niż 5 kul czerwonych ozancza to samo, co przynajmniej 5 kul w pozostałych kolorach, więc jest 6 przypadków takiego pokolorowania, sumujemy przypadki:
\(\displaystyle{ 2^{5} + 2^{6} + 2^{7} + 2^{8} + 2^{9} +2^{10}}\)
ale z tego co wiem kolejnosc kul nie jest istotna, a wtedy BWP i rozwiazanie byloby inne (moze wystarczy podzielic wynik przez 2?)
2. Najpierw malujemy 5 kul, kazda na bialo lub czarno, mozliwosci \(\displaystyle{ {6 \choose 1}}\) , a potem pozostale 5 dowolnie czyli na \(\displaystyle{ {7 \choose 2}}\) sposobów. Zatem:
\(\displaystyle{ {5+2-1 \choose 2-1}}\) * \(\displaystyle{ {5+3-1 \choose 3-1}}\)
Wydaje mi, ze robie bledy w obu rozwiazaniach....Czy ktos widzi jakie to bledy?
Pozdrawiam
Malowanie kulek kilkoma kolorami.
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Malowanie kulek kilkoma kolorami.
Wskazówka:
Obydwa rozwiązania nie są poprawne.
1) to rozwiązanie byłoby poprawne gdyby kule były rozróżnialne (np. numerowane). Ponieważ tak nie jest to będą to kombinacje z powtórzeniami (a nie wariacje z powtórzeniami).
2) tutaj masz obliczenia za pomocą kombinacji z powtórzeniami, ale taki sposób liczenia powoduje, że część wariantów liczona jest wielokrotnie. Przykładowo wg Twojej propozycji:
wariant A:
- te pierwsze 5 kul malujemy na czarno i biało np. 3xCzarne i 2xBiałe
- te drugie 5 kul dowolnie np. 2xCzerwone, 1xBiałe i 2xCzarne
W sumie mamy 5xCzarne, 3xBiałe, 2xCzerwone
wariant B:
- te pierwsze 5 kul malujemy na czarno i biało np. 4xCzarne i 1xBiałe
- te drugie 5 kul dowolnie np. 2xCzerwone, 2xBiałe i 1xCzarne
W sumie mamy 5xCzarne, 3xBiałe, 2xCzerwone
Widzisz, że warianty A i B są takie same pomimo, że wg Twojej propozycji byłyby liczone jako różne.-- 3 sty 2011, o 20:56 --3)
Od biedy ilość wariantów można łatwo obliczyć "na piechotę" (choć nie jest to eleganckie)
- 0 kulek czerwonych, to pozostałe 10 można pomalować na 11 sposobów (0 białych, 1 biała, 2 białe, ... , 10 białych)
- 1 kulka czerwona, to pozostałe 9 można pomalować na 10 sposobów (0 białych, 1 biała, 2 białe, ... , 9 białych)
- itd.
- 5 kulek czerwonych, to pozostałe 5 można pomalować na 6 sposobów (0 białych, 1 biała, 2 białe, ... , 5 białych)
Obydwa rozwiązania nie są poprawne.
1) to rozwiązanie byłoby poprawne gdyby kule były rozróżnialne (np. numerowane). Ponieważ tak nie jest to będą to kombinacje z powtórzeniami (a nie wariacje z powtórzeniami).
2) tutaj masz obliczenia za pomocą kombinacji z powtórzeniami, ale taki sposób liczenia powoduje, że część wariantów liczona jest wielokrotnie. Przykładowo wg Twojej propozycji:
wariant A:
- te pierwsze 5 kul malujemy na czarno i biało np. 3xCzarne i 2xBiałe
- te drugie 5 kul dowolnie np. 2xCzerwone, 1xBiałe i 2xCzarne
W sumie mamy 5xCzarne, 3xBiałe, 2xCzerwone
wariant B:
- te pierwsze 5 kul malujemy na czarno i biało np. 4xCzarne i 1xBiałe
- te drugie 5 kul dowolnie np. 2xCzerwone, 2xBiałe i 1xCzarne
W sumie mamy 5xCzarne, 3xBiałe, 2xCzerwone
Widzisz, że warianty A i B są takie same pomimo, że wg Twojej propozycji byłyby liczone jako różne.-- 3 sty 2011, o 20:56 --3)
Od biedy ilość wariantów można łatwo obliczyć "na piechotę" (choć nie jest to eleganckie)
- 0 kulek czerwonych, to pozostałe 10 można pomalować na 11 sposobów (0 białych, 1 biała, 2 białe, ... , 10 białych)
- 1 kulka czerwona, to pozostałe 9 można pomalować na 10 sposobów (0 białych, 1 biała, 2 białe, ... , 9 białych)
- itd.
- 5 kulek czerwonych, to pozostałe 5 można pomalować na 6 sposobów (0 białych, 1 biała, 2 białe, ... , 5 białych)