Liczba podzbiorów

[Andrzejmm]

Jest takie zadnie:
Pewien niepusty zbiór ma 211 swoich, co najwyżej dwuelementowych, podzbiorów. Ile elementów ma ten zbiór?
Wiem, żę będzie tak:
\(\displaystyle{ {n\choose 0}}\)+\(\displaystyle{ {n\choose 1}}\)+\(\displaystyle{ {n\choose 2}}\)=211
Tylko proszę mi wyjaśnić dlaczego tak będzie, bo jakoś nie mogę sam do tego dojść.

Poprawiam temat. Calasilyar

[d(-_-)b]

Oznaczmy:
n - ilość elementów zbioru

wiemy że nasz zbiór ma 211 podzbiorów, które się składają co najwyżej z dwóch elementów, tzn. \(\displaystyle{ {n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}=211}\)

właśnie

weż sobie zbiór \(\displaystyle{ \{1,2,3\}}\)

składa się on z 3 elementów czyli n=3

wszystkich podzbiorów tego zbioru jest \(\displaystyle{ 2^{3}=8}\)

wypiszmy zatem wszystkie podzbiory

1) jedno elementowe
\(\displaystyle{ \{1\};\{2\};\{3\}}\)

2) dwu elementowe
\(\displaystyle{ \{1,2\};\{1,3\};\{2,3\}}\)

3) trzy elementowe
\(\displaystyle{ \{1,2,3\}}\)

4) "zero" elementowy
\(\displaystyle{ \{\emptyset\}}\)

Razem wszystkich podzbiorów jest osiem

teraz wybieramy wzystkie dwu, jedno i "zero" elementowe i liczymy ich ilość

jest ich 7, zatem zgodnie z \(\displaystyle{ {n\choose 0}+{n\choose 1}+{n\choose 2}=211}\)

sprawdzamy czy zachodzi równość \(\displaystyle{ {3\choose 0}+{3\choose 1}+{3\choose 2}=7}\)

widzimy, że taka zależność zachodzi bo lewa strona równa się prawej

Analogicznie rozumujesz dla Twojego zadania tylko nie wyliczasz wszystkich podzbiorów bo za długo by Ci zeszlo, a poza tym jest on n-elementowy dlatego układasz wzór do tego zadania

[Andrzejmm]

Dziękuję d(-_-)bie teraz to rozumiem z tym, że w zadaniu była nieścisłość, gdyż nie jest powiedziane, że zbiory te mają różne elementy, możnaby również zastosować kombinację z powtórzeniami, bodajże tak

\(\displaystyle{ {n-1\choose 0}+{n\choose 1}+{n+1\choose 2}=211}\)
Ale racja w odpowiedziach jest rozwiązanie wynikające z zależności, którą na wstępie tematu położyłem. Poprostu zadanie było źle sformułowane.