Pokazać mniejszość liczby Bella od silnii

[mtiPWR]

Hej, mam problem, z pokazaniem, że \(\displaystyle{ B_{n} < n!}\)
Oczywiście dla n>2

Starałem się to indukcyjnie pokazać, jednak mój dowód przeradza się w dowód "przez machanie rękami" i dalece odbiega od dowodu formalnego, więc prosiłbym o wskazanie drogi, bądź wskazanie rozwiązania.

Pozdrawiam

[jovante]

Dla \(\displaystyle{ n=3}\) mamy \(\displaystyle{ B_{3}=5<6=3!}\), więc OK.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ B_{n}<n!}\) dla \(\displaystyle{ n>2}\).

\(\displaystyle{ B_{n+1}=\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} B_{i}<\sum_{i=0}^{n} {n \choose i} i!=n!\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{(n-i)!}<n!(n+1)=(n+1)!}\)

co kończy dowód.