Rozwiązać równanie rekurencyjne:

[tolek2]

\(\displaystyle{ n\cdot a_{n}+n\cdot a _{n-1} - a _{n-1} = 2 ^{n}\\ z \ warunkiem \ początkowym \ a_{0} = 3 456.}\)

Za pomoc z góry dziękuję.

[pipol]

Podstawmy \(\displaystyle{ b_n =na_n}\) wówczas mamy \(\displaystyle{ b_1 =2}\) oraz
\(\displaystyle{ b_n -b_{n-1} =2^n}\) więc
\(\displaystyle{ b_n =2+ \sum_{k=2}^{n} (b_k -b_{k-1} ) = \sum_{k=1}^{n} 2^k =2(2^n -1)}\) więc
\(\displaystyle{ a_n =\frac{2^{n+1} -2}{n}}\)

[tolek2]

W takim razie mam parę pytań do tego zapisu:
\(\displaystyle{ b_{1}=2}\) otrzymujemy z \(\displaystyle{ n\cdot a_{n}+n\cdot a _{n-1} - a _{n-1} = 2 ^{n}}\)
po przyjęciu, że n=1??

Podstawmy \(\displaystyle{ b_n =na_n}\) wówczas mamy \(\displaystyle{ b_1 =2}\) oraz
\(\displaystyle{ b_n -b_{n-1} =2^n}\)

Tutaj nie wiem skąd się wzieło to \(\displaystyle{ b_n -b_{n-1} =2^n}\)

Bo z tego co rozumiem to \(\displaystyle{ na_n}\) to teraz \(\displaystyle{ b_n}\), a \(\displaystyle{ na_{n-1}}\) to teraz \(\displaystyle{ b_{n-1}n}\), czyli mamy \(\displaystyle{ b_n +b_{n-1}}\), ale jeszcze musimy zamienić \(\displaystyle{ - a _{n-1}}\), a tej zamiany nie widzę tutaj nigdzie.

Proszę o wyjaśnienie.

[pipol]

Masz racje powinno być \(\displaystyle{ b_n +b_{n-1} =2^n}\) podstawmy \(\displaystyle{ c_n =3b_n}\) wtedy otrzymamy
\(\displaystyle{ c_n +c_{n-1} =3\cdot 2^n}\)
Podstawmy teraz \(\displaystyle{ d_n =c_n - 2^{n+1}}\) wówczas dostaniemy
\(\displaystyle{ d_n +d_{n-1} =0}\) skąd \(\displaystyle{ d_{n} =(-1)^{n+1} d_1 =2\cdot (-1)^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ c_n =2\cdot (-1)^{n+1} +2^{n+1}}\)
\(\displaystyle{ b_{n} =\frac{1}{3}\cdot \left(2\cdot (-1)^{n+1} +2^{n+1} \right)}\)
\(\displaystyle{ a_n =\frac{1}{3n}\cdot \left(2\cdot (-1)^{n+1} +2^{n+1} \right)}\)
o ile sie nie pomylilem w rachunkach to powinno byc dobrze

[tolek2]

Dobra jak rozwiązać:\(\displaystyle{ b_n +b_{n-1} =2^n}\) to wiem bo to będzie \(\displaystyle{ b_n=-b_{n-1} + 2^n}\), a to jest niejednorodna zależność rekurencyjna, przypadek wyrazem wolnym typu funkcja wymierna.
Ale dalej nie wiem gdzie w tym twoim podstawieniu jest wyraz \(\displaystyle{ - a _{n-1}}\) z równania wyjściowego \(\displaystyle{ n\cdot a_{n}+n\cdot a _{n-1} - a _{n-1} = 2 ^{n}}\).

Może zapisz to w tym stylu, żebym wiedział jak to się wszystko zmienia:
\(\displaystyle{ n\cdot a_{n}+n\cdot a _{n-1} - a _{n-1} = 2 ^{n}}\).
\(\displaystyle{ \ | \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | \\
\bigvee \ \ \ \ \ \ \ \bigvee \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \bigvee\\
\ \ \ b_n \ \ \ \ \ +b_{n-1} \ \ \ \ - \ \ \ \ \ \ \ \ \ =2^n}\)
Gdzie
\(\displaystyle{ \ | \\
\bigvee}\)
pokazuje w co zamieniają się poszczególne wyrazy.

P.S. Sorry, że tak Ciebie męczę ale dalej nie widzę w co zamienia się ten trzeci wyraz.

[pipol]

No to podstaw \(\displaystyle{ n\cdot a_n +n\cdot a_{n-1} -a_{n-1} =n\cdot a_n +(n-1)\cdot a_{n-1} =n\cdot \frac{1}{3n}\left(2\cdot (-1)^{n+1} +2^{n+1}\right) +(n-1)\cdot \frac{1}{3(n-1)}\cdot \left( 2\cdot (-1)^n +2^n\right) =\frac{1}{3}\cdot \left(2\cdot (-1)^{n+1} +2^{n+1} +2\cdot (-1)^n +2^n \right) =\frac{1}{3}\cdot \left (2^{n+1} +2^n \right) =2^n}\)

[tolek2]

OK. Tylko, że tym razem nie wytłumaczyłeś mi skąd się bierze: \(\displaystyle{ b_n +b_{n-1} =2^n}\). Wiem, że pod \(\displaystyle{ na_n \ podstawiamy \ b_n}\). Ale prosiłbym o przedstawienie tego podstawienie krok, po kroku, bo mi ono nie wychodzi. I nie wiem, dlaczego -- 21 gru 2010, o 22:30 --Teraz już rozumiem to podstawienie z którego mamy: \(\displaystyle{ b_n +b_{n-1} =2^n}\). Jeszcze raz dziękuję i życzę zdrowych, wesołych świąt i szczęśliwego nowego roku.