ile jest rozwiązań

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
gwiazda55
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 16 kwie 2010, o 11:17
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 2 razy

ile jest rozwiązań

Post autor: gwiazda55 »

Proszę o pomoc w zadaniu
Ile jest różnych rozwiązań równania \(\displaystyle{ x+y+z+t = 35}\)
a) w zbiorze liczb całkowitych nieujemnych
b) w zbiorze liczb naturalnych?
Ostatnio zmieniony 14 gru 2010, o 12:33 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

ile jest rozwiązań

Post autor: »

Wskazówka - ilość rozwiązań równania
\(\displaystyle{ x_1+x_2+\dots + x_n =k}\)
w liczbach całkowitych nieujemnych to \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k}}\)

Q.
gosia19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 350
Rejestracja: 9 maja 2008, o 18:18
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 20 razy

ile jest rozwiązań

Post autor: gosia19 »

A czy tam nie powinno być: \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\)?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

ile jest rozwiązań

Post autor: »

Sprawdź co Twój wzór daje dla \(\displaystyle{ n=1}\) i porównaj to z tym co powinien dawać.

Q.
gosia19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 350
Rejestracja: 9 maja 2008, o 18:18
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 20 razy

ile jest rozwiązań

Post autor: gosia19 »

Tak tylko chciałam się upewnić, bo mam w notatkach z wykładu, że liczba nieujemnych, całkowitych rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+...+x_k=n}\) jest równa \(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1}}\).
Widzę, że w Twoim poście są na odwrót oznaczenia, ale to chyba nie ma większego znaczenia. Jednak w związku z tym nadal nie wiem dlaczego tam jest samo k. Czy z Twoimi oznaczeniami tam nie powinno być \(\displaystyle{ n-1}\)? Czy mógłbyś to wyjaśnić?

Z góry przepraszam, jeśli wymyślam tu jakieś bajki, może po prostu coś źle przepisałam
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

ile jest rozwiązań

Post autor: »

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ {n+k-1 \choose k-1} = {n+k-1 \choose n}}\)

Q.
gosia19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 350
Rejestracja: 9 maja 2008, o 18:18
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 20 razy

ile jest rozwiązań

Post autor: gosia19 »

No i wszystko jasne
Pięknie dziękuję
ODPOWIEDZ