Witam, Jestem tutaj po raz pierwszy. Usiluje znalezc rozwiazanie nastepujacego zadania: Jest 20 wyborcow, ktorzy moga glosowac lub wstrzymac sie od glosowania. Jesli glosuja, moga oddac swoje glosy na 4 kandydatow: a,b,c,d. Nie moga oddac pustej karty. Kazdy jeden wyborca glosuje na jednego kandydata. Ile wynosi zbior wszystkich mozliwych wynikow wyborow?
Z pozoru proste, ale nie wiem jak wyliczyc zbior wszystkich mozliwych rezultatow, juz nawet nie uwzgledniajac faktu ze moga wstrzymac sie od glosu. Metoda drzewka nie dziala
Bede wdzieczna za pomoc.
LMKS
Zbior wszystkich mozliwych wynikow wyborow
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Zbior wszystkich mozliwych wynikow wyborow
Wyobraź sobie, że wyborca dokonuje wyboru jednej z 5 możliwych opcji ze zbioru {0;a;b;c;d} - 0 to wstrzymane się od głosu. Następnie wrzuca kartkę do urny. W urnie jest po głosowaniu 20 kartek zawierających dowolne głosy spośród 5 możliwych. Oczywiście nie wiadomo który wyborca którą wrzucił kartkę.
Jest to więc typowa 20-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego.
Jest to więc typowa 20-elementowa kombinacja z powtórzeniami ze zbioru 5-elementowego.
Zbior wszystkich mozliwych wynikow wyborow
No wlasnie nie sadze. Chodzi o to ze wyborca nie moze oddac pustego glosu czyli zero. Moze glosowac lub nie wiec ewentualna kombinacje trzebaby przemnozyc przez 1/2.
Nastepnie: naturalnie poradzilabym sobie ze zwykla kombinacja. Niestety pytanie jest troche mylace: "Podaj zbior wszystkich mozliwych wynikow wyborow": czyli chodzi o to ktora literka a,b,c czy d wygra.
No i tutaj pojawia sie problem, bo trzeba odjac wynik ex-aequo itd.
Nastepnie: naturalnie poradzilabym sobie ze zwykla kombinacja. Niestety pytanie jest troche mylace: "Podaj zbior wszystkich mozliwych wynikow wyborow": czyli chodzi o to ktora literka a,b,c czy d wygra.
No i tutaj pojawia sie problem, bo trzeba odjac wynik ex-aequo itd.
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Zbior wszystkich mozliwych wynikow wyborow
Po pierwsze, właśnie przez zero oznaczyłem wstrzymanie się od głosu a nie jego nieoddanie. Równie dobrze możesz sobie taki przypadek oznaczyć np. literką w
Po drugie, dlaczego dlaczego wstrzymanie się od głosu (czyli jak napisałaś niegłosowanie) miałoby powodować mnożenie kombinacji przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ? Wstrzymanie się od głosu to po prostu kolejna, piąta możliwość decyzji jaką może podjąć wyborca. To tak jakby na kartce do głosowania było pięć okienek do zakreślenia: a, b, c, d, w
Po trzecie, faktycznie może budzić wątpliwości i różne interpretacje zwrot wszystkie możliwe wyniki wyborów.
Ja rozumiem to tak, że są to wszystkie możliwe wyniki oddanych głosów. Dlatego w mojej wskazówce są to wszystkie 20-elementowe zbiory jakie można utworzyć z elementów zbioru \(\displaystyle{ \left\{ w;a;b;c;d\right\}}\) (tutaj zamieniłem 0 na w co nie ma żadnego znaczenia). Są to więc kombinacje z powtórzeniami.
Jeżeli interpretacja miałaby być inna i oznaczać jak piszesz "uszeregowanie" kandydatów w wyniku tych wyborów to jedynym warunkiem ich dowolnego "uszeregowania" jest to aby ilość głosów oddanych na każdego z nich umożliwiała utworzenie rosnącego ciągu 4-elementowego. Warunek ten spełnia już 6 wyborców (bo liczba głosów oddanych na kolejnych kandydatów może wynosić 0, 1, 2 i 3). Przy spełnieniu tego warunku nie ma żadnego związku pomiędzy ilością wyborców a możliwymi do zajęcia przez kandydatów miejscami. Może tych wyborców być zarówno 20, 200 jak i 2000000.
Dlatego też biorąc pod uwagę treść zadania pierwszą interpretację uważam za bardziej logiczną, bo wówczas na rozwiązanie "mają wpływ" wszystkie dane podane w zadaniu. Natomiast przy drugiej interpretacji dla wyniku rozwiązania nie ma żadnego znaczenia ilość wyborców (więc po co byłaby podawana w zadaniu).
Oczywiście mogę się mylić i być może inna była intencja autora zadania, ale to mógłby stwierdzić tylko on sam.
Jeżeli jesteś zainteresowana wskazówkami dla rozwiązania wg tej drugiej interpretacji to mogę Ci je napisać.
Po drugie, dlaczego dlaczego wstrzymanie się od głosu (czyli jak napisałaś niegłosowanie) miałoby powodować mnożenie kombinacji przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) ? Wstrzymanie się od głosu to po prostu kolejna, piąta możliwość decyzji jaką może podjąć wyborca. To tak jakby na kartce do głosowania było pięć okienek do zakreślenia: a, b, c, d, w
Po trzecie, faktycznie może budzić wątpliwości i różne interpretacje zwrot wszystkie możliwe wyniki wyborów.
Ja rozumiem to tak, że są to wszystkie możliwe wyniki oddanych głosów. Dlatego w mojej wskazówce są to wszystkie 20-elementowe zbiory jakie można utworzyć z elementów zbioru \(\displaystyle{ \left\{ w;a;b;c;d\right\}}\) (tutaj zamieniłem 0 na w co nie ma żadnego znaczenia). Są to więc kombinacje z powtórzeniami.
Jeżeli interpretacja miałaby być inna i oznaczać jak piszesz "uszeregowanie" kandydatów w wyniku tych wyborów to jedynym warunkiem ich dowolnego "uszeregowania" jest to aby ilość głosów oddanych na każdego z nich umożliwiała utworzenie rosnącego ciągu 4-elementowego. Warunek ten spełnia już 6 wyborców (bo liczba głosów oddanych na kolejnych kandydatów może wynosić 0, 1, 2 i 3). Przy spełnieniu tego warunku nie ma żadnego związku pomiędzy ilością wyborców a możliwymi do zajęcia przez kandydatów miejscami. Może tych wyborców być zarówno 20, 200 jak i 2000000.
Dlatego też biorąc pod uwagę treść zadania pierwszą interpretację uważam za bardziej logiczną, bo wówczas na rozwiązanie "mają wpływ" wszystkie dane podane w zadaniu. Natomiast przy drugiej interpretacji dla wyniku rozwiązania nie ma żadnego znaczenia ilość wyborców (więc po co byłaby podawana w zadaniu).
Oczywiście mogę się mylić i być może inna była intencja autora zadania, ale to mógłby stwierdzić tylko on sam.
Jeżeli jesteś zainteresowana wskazówkami dla rozwiązania wg tej drugiej interpretacji to mogę Ci je napisać.
-
Iamnewhere
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 17 paź 2010, o 18:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: war
Zbior wszystkich mozliwych wynikow wyborow
Moglbyc zapisac jak to powinno wygladac?(tak z ciekawosci)
-
mat_61
- Użytkownik
- Posty: 4618
- Rejestracja: 8 lis 2009, o 10:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Racibórz
- Pomógł: 866 razy
Zbior wszystkich mozliwych wynikow wyborow
Jeżeli chcemy obliczyć wszystkie możliwe warianty miejsc jakie mogą zająć kandydaci, to musimy przyjąć jeszcze jedno założenie dotyczące rozdziału miejsc.
Czy rozdział miejsc jest taki jak w niektórych zawodach sportowych tzn. jeżeli np. na I miejscu są dwie osoby, to kolejnej osobie przyznajemy III miejsce, jeżeli trzy osoby to kolejnej osobie przyznajemy IV miejsce itd., czy też miejsca zawsze są przyznawane jako kolejne. Nie ma to wprawdzie wpływu na sam liczbowy wynik ale na sposób zapisu w rozwiązaniu.
Oczywiście rozdział miejsc nie może być dowolny tak jak w wariacji z powtórzeniami. Nie mogą np. być dwa II miejsca i dwa IV miejsca (zawsze musi być obsadzone I miejsce)
A teraz rozwiązanie.
Rozdział miejsc może być następujący (liczby oznaczają ilość osób a kolejne pozycje odpowiadają kolejnym miejscom):
4;0;0;0
----------------
3;1;0;0 (3;0;0;1)
1;3;0;0
----------------
2;2;0;0 (2;0;2;0)
----------------
2;1;1;0 (2;0;1;1)
1;2;1;0 (1;2;0;1)
1;1;2;0
----------------
1;1;1;1
W nawiasie podałem alternatywny rozdział dla przydziału miejsc wg zasad "sportowych" (jak widać niczego to nie zmienia w obliczeniach. W podanych powyżej rozdziałach miejsc mamy takie warianty podziału osób na rozróżnialne grupy (4; 3-1; 2-2; 2-1-1; 1-1-1-1). Tego rozdziału osób dokonujemy korzystając z kombinacji. Wszystkich możliwości mamy więc:
\(\displaystyle{ 1 \cdot C^{4}_{4}+2 \cdot C^{3}_{4}+1 \cdot C^{2}_{4}+ 3 \cdot C^{2}_{4} \cdot C^{1}_{2}+1 \cdot C^{1}_{4} \cdot C^{1}_{3} \cdot C^{1}_{2}=…}\)
Czy rozdział miejsc jest taki jak w niektórych zawodach sportowych tzn. jeżeli np. na I miejscu są dwie osoby, to kolejnej osobie przyznajemy III miejsce, jeżeli trzy osoby to kolejnej osobie przyznajemy IV miejsce itd., czy też miejsca zawsze są przyznawane jako kolejne. Nie ma to wprawdzie wpływu na sam liczbowy wynik ale na sposób zapisu w rozwiązaniu.
Oczywiście rozdział miejsc nie może być dowolny tak jak w wariacji z powtórzeniami. Nie mogą np. być dwa II miejsca i dwa IV miejsca (zawsze musi być obsadzone I miejsce)
A teraz rozwiązanie.
Rozdział miejsc może być następujący (liczby oznaczają ilość osób a kolejne pozycje odpowiadają kolejnym miejscom):
4;0;0;0
----------------
3;1;0;0 (3;0;0;1)
1;3;0;0
----------------
2;2;0;0 (2;0;2;0)
----------------
2;1;1;0 (2;0;1;1)
1;2;1;0 (1;2;0;1)
1;1;2;0
----------------
1;1;1;1
W nawiasie podałem alternatywny rozdział dla przydziału miejsc wg zasad "sportowych" (jak widać niczego to nie zmienia w obliczeniach. W podanych powyżej rozdziałach miejsc mamy takie warianty podziału osób na rozróżnialne grupy (4; 3-1; 2-2; 2-1-1; 1-1-1-1). Tego rozdziału osób dokonujemy korzystając z kombinacji. Wszystkich możliwości mamy więc:
\(\displaystyle{ 1 \cdot C^{4}_{4}+2 \cdot C^{3}_{4}+1 \cdot C^{2}_{4}+ 3 \cdot C^{2}_{4} \cdot C^{1}_{2}+1 \cdot C^{1}_{4} \cdot C^{1}_{3} \cdot C^{1}_{2}=…}\)