Rozwiązać następujące liniowe równania rekurencyjne:

[tolek2]

Witam,
Mam taką prośbę o pomoc w rozwiązaniu tych dwóch równań, gdyż nie mogę sobie z nimi poradzić:

\(\displaystyle{ 1. a_{n}= a_{n-1} + 7n, \ \ \ a_{0} =0. \\
2. a_{n}= a_{n-1} + n ^{3} , \ \ \ a_{0} =0.}\)

Z góry dziękuję za pomoc.

[edaro]

1.
\(\displaystyle{ (\ast) \ \ \ a_{n}= a_{n-1} + 7n, \ \ \ a_{0} =0
\\
a_{n} = a_{n}^{(1)} + a_{n}^{(2)}}\)

Równanie charakterystyczne jednorodnego równania liniowego \(\displaystyle{ a_{n}^{(1)} = a_{n-1}^{(1)}}\) ma rozwiązanie \(\displaystyle{ \alpha = 1}\). Zatem wzór ogólny ma postać \(\displaystyle{ a_{n}^{(1)} = C\cdot1^{n}}\)

Dla wyrazu wolnego \(\displaystyle{ a_{n}^{(2)} = 7n}\) będziemy przewidywać rozwiązania postaci \(\displaystyle{ a_{n}^{(2)} = n(An + B)}\)

Podstawiając to do równania \(\displaystyle{ (\ast)}\)

\(\displaystyle{ n(An + B) = (n-1)[A(n-1) + B] + 7n}\)

i porównujac współczynniki przy wielomianach po obu stronach otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ A = \frac{7}{2} \wedge B = \frac{7}{2}}\)
Zatem
\(\displaystyle{ a_{n}^{(2)} = n(\frac{7}{2}n + \frac{7}{2})}\)
oraz
\(\displaystyle{ a_{n} = C\cdot1^{n} + n(\frac{7}{2}n + \frac{7}{2})}\)

Mamy dany pierwszy wyraz, tak więc podstawiamy go pod uzyskany wzór i otrzymujemy \(\displaystyle{ C = 0}\).

Czyli ostateczny wzór to:
\(\displaystyle{ a_{n} = n(\frac{7}{2}n + \frac{7}{2})}\)


2.
\(\displaystyle{ (\ast) \ \ \ a_{n}= a_{n-1} + n ^{3} , \ \ \ a_{0} =0
\\
a_{n} = a_{n}^{(1)} + a_{n}^{(2)}}\)

Równanie charakterystyczne jednorodnego równania liniowego \(\displaystyle{ a_{n}^{(1)} = a_{n-1}^{(1)}}\) ma rozwiązanie \(\displaystyle{ \alpha = 1}\). Zatem wzór ogólny ma postać \(\displaystyle{ a_{n}^{(1)} = C_{1}\cdot1^{n}}\)

Dla wyrazu wolnego \(\displaystyle{ a_{n}^{(2)} = n^{3}}\) będziemy przewidywać rozwiązania postaci \(\displaystyle{ a_{n}^{(2)} = n(An^{3} + Bn^{2} + Cn + D)}\)

Podstawiając to do równania \(\displaystyle{ (\ast)}\) i porównujac współczynniki przy wielomianach po obu stronach otrzymujemy, że \(\displaystyle{ A = \frac{1}{4} \wedge B = \frac{1}{2} \wedge C = \frac{1}{4} \wedge D = 0}\)
Zatem
\(\displaystyle{ a_{n}^{(2)} = n(\frac{1}{4}n^{3} + \frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{4}n)}\)
oraz
\(\displaystyle{ a_{n} = C_{1}\cdot1^{n} + n(\frac{1}{4}n^{3} + \frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{4}n)}\)

Mamy dany pierwszy wyraz, tak więc podstawiamy go pod uzyskany wzór i otrzymujemy \(\displaystyle{ C_{1} = 0}\).

Czyli ostateczny wzór to:
\(\displaystyle{ a_{n} = n(\frac{1}{4}n^{3} + \frac{1}{2}n^{2} + \frac{1}{4}n)}\)


PS Z której grupy?

[tolek2]

Dziękuję jeszcze raz.