Dwumian Netwona - bezpośredni rachunek

arabella · Post autor: **arabella** » 28 lis 2010, o 16:38

Witam,

W jaki sposób mogę udowodnić poniższą równośc? :

\(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n}{k} {n-1 \choose k-1}}\)

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 28 lis 2010, o 18:38

Rozpisać te symbole Newtona.

arabella · Post autor: **arabella** » 28 lis 2010, o 21:14

z której własności skorzystać lepiej z 1. \(\displaystyle{ {n \choose k} = {n \choose k-1}}\) czy z \(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{[n-(k-1)]...(n-1)*n}{k!}}\) ?

piasek101 · Post autor: **piasek101** » 28 lis 2010, o 21:16

Z definicji.

Zordon · Post autor: **Zordon** » 28 lis 2010, o 21:16

Pierwsza własność jest nieprawdziwa. Lepiej z tej drugiej.

Adam656 · Post autor: **Adam656** » 28 lis 2010, o 21:35

\(\displaystyle{ {n \choose k} = \frac{n}{k} {n-1 \choose k-1}}\)

\(\displaystyle{ \frac{n}{k} {n-1 \choose k-1} = \frac{n}{k} \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-1-(k-1))!}}\) \(\displaystyle{ =}\) \(\displaystyle{ \frac{(n-1)! \cdot n}{(k-1)! \cdot k (n-1 -k +1)!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = {n \choose k}}\)

Pozdrawiam
Adam