Losowanie kart

[tematyka]

Na ile sposobów można wylosować z talii kart cztery karty, tak aby:
a) wśród nich były dwie karty w jednym kolorze i dwie karty w innym kolorze
b) wśród nich były co najmniej dwie karty tego samego koloru

To pierwsze próbowałam robić tak
\(\displaystyle{ {4\choose 2} \cdot {13 \choose 2} \cdot {39 \choose 2} }}\) ale wynik powinien wyjść 36504 a nie wychodzi

[mat_61]

Przecież po dwie karty losujemy z każdego z wybranych kolorów, czyli:

\(\displaystyle{ {4\choose 2} \cdot {13 \choose 2} \cdot {13 \choose 2} }=...}\)

Wskazówka do b)

- wybierasz kolor
- sumujesz ilość możliwości dla kolejno 2, 3 i 4 kart z tego koloru (pozostałe mogą być dowolne)

[tematyka]

Przecież po dwie karty losujemy z każdego z wybranych kolorów, czyli:

\(\displaystyle{ {4\choose 2} \cdot {13 \choose 2} \cdot {13 \choose 2} }=...}\)

czyli 2 pozostałe karty mają być też jednego koloru? (innego niż ten pierwszy?) Myślałam że każda z dwóch pozostałych kart może być różnego koloru

a co do b) to zrobiłam to tak
\(\displaystyle{ {13\choose 2} \cdot {39 \choose 2} + {13\choose 3} \cdot {39 \choose 1} + {13 \choose 4} \cdot {39 \choose 0}}\) czyli wychodzi 69667 a powinno wyjść 242164

[mat_61]

Jak dla mnie zwrot:

dwie karty w jednym kolorze i dwie karty w innym kolorze

oznacza dwie kart w kolorze A oraz dwie karty w kolorze B.

A co do b) to nie jest tak prosto jak napisałeś.

dwie karty w jednym kolorze:

Czyli mogą być:

- albo 2 w jednym kolorze i 2 w innym (wybieramy 2 kolory z 4 i następnie po dwie karty z każdego wybranego koloru):

\(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot {13 \choose 2} \cdot {13 \choose 2}}\)

- albo 2 w jednym kolorze (wybieramy 1 kolor z 4 i następnie 2 karty z tego koloru) i po jednej w innych kolorach (wybieramy 2 kolory z pozostałych 3 i po jednej karcie z tych kolorów)

\(\displaystyle{ {4 \choose 1} \cdot {13 \choose 2} \cdot {3 \choose 2} \cdot {13 \choose 1} \cdot {13 \choose 1}}\)

trzy karty w jednym kolorze:

- wybieramy 1 kolor z 4 i 3 karty z tego koloru oraz 1 kartę z pozostałych kart:

\(\displaystyle{ {4 \choose 1} \cdot {13 \choose 3} \cdot {39 \choose 1}}\)

cztery karty w jednym kolorze:

- wybieramy 1 kolor z 4 i 4 karty z tego koloru:

\(\displaystyle{ {4 \choose 1} \cdot {13 \choose 4}}\)

[tematyka]

Dziękuję za takie dokładne wytłumaczenie, teraz wszystko jasne:)

[mat_61]

Jeszcze jedno wyjaśnienie do Twojego sposobu liczenia przy wariancie gdy 2 karty mają być w jednym kolorze. Oprócz tego, że nie uwzględniasz ilości możliwości wyboru tego "jednego" koloru, to dodatkowo liczysz dwukrotnie wszystkie zestawy 2 razy 2 kolory. Zauważ, że taki zapis jak Twój:

\(\displaystyle{ {13\choose 2} \cdot {39 \choose 2}}\)

oznacza, że np. te 2 wybrane karty z 13 to może być np. dama pik i as pik (gdy tym wybranym kolorem są piki) natomiast te 2 z 39 to mogą być np. walet trefl i król trefl. Ale może być też tak, że tym wybranym kolorem mogą być trefle (a wybranymi 2 kartami z 13 np. walet trefl i król trefl) natomiast te 2 z 39 to mogą być np. dama pik i as pik. Widzisz więc, że te liczone jako inne "zestawy" są tak naprawdę takie same, czyli zostały policzone dwukrotnie.

Gdyby skorzystać z takiego sposobu liczenia należałoby więc uwzględnić (czyli odjąć) te wszystkie "podwójne" zestawy. Wyglądałoby to tak:

\(\displaystyle{ {4 \choose 1} \cdot {13\choose 2} \cdot {39 \choose 2}- {4 \choose 2} \cdot {13 \choose 2} \cdot {13 \choose 2}}\)

Oczywiście da to taki sam wynik jak wg sposobu pokazanego wcześniej.

[as10]

Odnośnie b)

Na ile sposobów można wylosować z talii kart cztery karty, tak aby:
b) wśród nich były co najmniej dwie karty tego samego koloru

Najlatwiej to policzyc przez zdarzenie przeciwne, czyli
B' - wszystkie są różnych kolorów.