Równanie z silnią

[margor]

Witam, próbuje rozwiązać następujące zadanie, ale dochodzę do nierówności wielomianowej, którą ciężko rozwiązać bez użycia komputera.

\(\displaystyle{ {n+1 \choose n-2} - {n+1 \choose n-1} \le 100}\)
Znaleźć liczby naturalne spełniające nierówność.

Po pierwsze założenie:
\(\displaystyle{ n+1 \ge n -2 \wedge n+1 \ge n - 1}\)
Jest spełnione przez wszystkie liczby naturalne.

Upraszczając silnie dochodzę do nierówności:
\(\displaystyle{ n(n+1)(n-1)-3n(n+1) \le 600}\)

Jak widać nierówność ta nie ma pierwiastków, które jest łatwo policzyć ręcznie.


Prawdopodobnie istnieje właśność, która pozwala dojść do innej nierówności, którą łatwo jest rozwiązać. Nie mam pojęcia z czego skorzystać. A może jest jakiś trick do szybkiego rozwiązania na piechotę takiej nierówności..? Raczej to pierwsze.

Zgodnie z wykresem na Wolfram Alpha przekształciłem dobrze, bo zgadza się to z odpowiedziami.

[abc666]

Ale wykorzystaj to, że \(\displaystyle{ n}\) jest naturalne.

[margor]

Ale wykorzystaj to, że \(\displaystyle{ n}\) jest naturalne.

Właśnie chciałbym, ale brute force dla 600 liczb chyba nie wchodzi w grę.

Podstawiam za n = 1, za n = 2 i chwilę myślę, dochodzę do wniosku że musi być spełniona nierówność:
\(\displaystyle{ n(n^2-1) \ge 3n(n+1)}\)
Której rozwiązanie to liczby naturalne większe lub równe 2.

Następnie brute force sprawdzam po kolei liczby naturalne póki to jest prawda tzn. pasuje do głównej nierówności.

To chyba mało eleganckie, ale działa.