Dwumian Newtona zadanko

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
r2b
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 5 maja 2006, o 18:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz

Dwumian Newtona zadanko

Post autor: r2b »

Mam problem z zadankiem o nastepujacej tresci (nie wiem jak obliczyc rownanie i czy jest poprawne):

Wiadomo, że suma wspolczynnikow drugiego i trzeciego wyrazu rozwiniecia dwumianu \(\displaystyle{ (x^{2}+\frac{1}{x})^{n}}\) wynosi 325. Wyznacz siedemnasty wyraz tego rozwiniecia.

Nieregulaminowy zapis. Poprawiam. Calasilyar
Ostatnio zmieniony 20 lis 2006, o 23:01 przez r2b, łącznie zmieniany 1 raz.
zi0m_papirus
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 9 sty 2007, o 20:58
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Dwumian Newtona zadanko

Post autor: zi0m_papirus »

Jako ze przed x wystepuje czynnik 1 nie am to znaczenia dla wielksoci wspolczynnika a wiec 2 wyraz jest postaci \(\displaystyle{ {n\choose 1}}\) a 3 wyraz \(\displaystyle{ {n\choose 2}}\)
Suma tych dwoch czynnikow ze znanego tweirdzenia -
\(\displaystyle{ {n\choose k}+{n\choose k+1}={n+1\choose k+1}}\)
a wiec
\(\displaystyle{ {n\choose 1}+{n\choose 2}={n+1\choose 2}}\)

zatem:

\(\displaystyle{ {n+1\choose 2}=325}\) teraz zaminiamy dwumian newtona na prosta postac

\(\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{2!(n-1)!}}\)

co jest rowne


\(\displaystyle{ \frac{(n-1)*n*(n+1)}{2(n-1)!}}\)

co jest ostatecznie rowne

\(\displaystyle{ {n(n+1)=650}}\)

nei chce mis ei jzu delty obliczac ale - \(\displaystyle{ {n=25}}\)


a wiec 17 wyraz to


\(\displaystyle{ {(-1)^{16}*{25\choose 16}*(x^{2})^{n-k}*(\frac{1}{x})^{k}}\)

zatem

\(\displaystyle{ {(-1)^{16}*{25\choose 16}*(x^{2})^{9}*(\frac{1}{x})^{16}}\)

co rowna sie

\(\displaystyle{ {(-1)^{16}*{25\choose 16}*x^{18}*x^{-16}}\)

ostaecznie \(\displaystyle{ {{25\choose 16}*x^{2}}\)
ODPOWIEDZ